Законы сохранения: Система из грузов и и связывающей их лёгкой; 30, 100 · ЕГЭ №26

Условие, ответ и разбор задачи

Сложные задачи по механике с обоснованием моделиПрофиматика

Система из грузов $m$ и $M$ и связывающей их лёгкой нерастяжимой нити в начальный момент покоится в вертикальной плоскости, проходящей через центр закреплённой сферы. Груз $m$ находится в точке $A$ на вершине сферы (см. рисунок). В ходе возникшего движения груз $m$ отрывается от поверхности сферы, пройдя по ней дугу 30 ${}^\circ$ . Найдите массу $M$ , если $m$ = 100 г. Размеры груза $m$ ничтожно малы по сравнению с радиусом сферы. Трением пренебречь. Сделайте схематический рисунок с указанием сил, действующих на грузы.

Рисунок 1 (условие) к задаче 46 подборки «Задание 26»

Решение

Обоснование.

1. СО, связанную с Землёй, считаем инерциальной.

2. Размеры малого груза малы по сравнению с радиусом сферы, подвешенный груз движется поступательно; используем модель материальных точек.

3. Для материальных точек в ИСО применим второй закон Ньютона.

4. Нить лёгкая, сфера гладкая, поэтому натяжение одинаково вдоль нити.

5. Нить нерастяжима, поэтому модули скоростей грузов равны.

6. Для системы "оба груза + Земля"

A_N=0

, поскольку

\vec N\perp\vec v

; работы натяжения взаимно компенсируются. Трения нет; механическая энергия сохраняется.

7. До отрыва малого груза

a_{\text{ц}}=v^2/R

; в момент отрыва

N=0

.

Решение.

Обозначим радиус сферы через

R

, угол пройденной дуги через

\theta

, общую по модулю скорость грузов через

v

. При перемещении малого груза на дугу

R\theta

висящий груз опускается на ту же длину: участок нити, охватывающий сферу, укорачивается. Малый груз опускается по вертикали на

R(1-\cos\theta)

. Поэтому

\frac{(m+M)v^2}{2}=mgR(1-\cos\theta)+MgR\theta.

Натяжение направлено по касательной и не имеет радиальной составляющей. В момент отрыва

N=0

, поэтому

mg\cos\theta=\frac{mv^2}{R},\qquad v^2=gR\cos\theta.

Подстановка в закон сохранения энергии даёт

(m+M)\cos\theta=2m(1-\cos\theta)+2M\theta,

M=m\frac{3\cos\theta-2}{2\theta-\cos\theta}.

Угол в длине дуги выражается в радианах:

\theta=\pi/6

. Следовательно,

M=0{,}10\frac{3\sqrt3/2-2}{\pi/3-\sqrt3/2} \approx0{,}330\ \text{кг}.

Рисунок 1 (решение) к задаче 46 подборки «Задание 26»

Законы сохранения: Система из грузов и и связывающей их лёгкой; 30, 100 · ЕГЭ №26

Похожие задачи