Законы сохранения в механике: К одному концу легкой пружины...

Условие, ответ и разбор задачи

Сложные задачи по механике с обоснованием моделиВариант Профиматики 2026 №9Профиматика

К одному концу легкой пружины жесткостью $k = 100\ \text{Н/м}$ прикреплен груз массой $m = 1\ \text{кг}$ , лежащий на горизонтальной плоскости, другой конец пружины закреплен неподвижно (см. рисунок). Коэффициент трения груза по плоскости $\mu = 0,2$ . Груз смещают по горизонтали, растягивая

пружину на величину $d$ , затем отпускают с начальной скоростью, равной нулю. Найдите максимальное значение $d$ , при котором груз движется в одном направлении и затем останавливается в положении, в котором пружина уже сжата.

Какие законы Вы используете для описания движения бруска? Обоснуйте их применение.

Рисунок к задаче 26 варианта профиматики 2026 №9

Решение

Обоснование. Систему отсчёта, связанную с Землей, считаем инерциальной. Груз движется поступательно, поэтому его можно описывать как материальную точку. В ИСО для материальной точки примение 2-ой закон Ньютона. Лёгкая пружина подчиняется закону Гука; её потенциальная энергия равна

kx^2/2

. Вертикальное ускорение груза отсутствует, поэтому по 2-му закону Ньютона

N=mg

. При скольжении

F_{\text{тр}}=\mu N=\mu mg

. Сила тяжести и нормальная реакция работы не совершают. Механическая энергия системы «груз + пружина» изменяется за счёт отрицательной работы трения, поэтому будем использовать закон изменения механической энергии.

Обозначим модуль сжатия пружины при первой остановке через

x>0

. Груз проходит влево путь

s=d+x

, начальная и конечная скорости равны нулю. По закону изменения механической энергии

\frac{kx^2}{2}-\frac{kd^2}{2}=-\mu mg(d+x).

Так как

d+x>0

, после разложения разности квадратов и сокращения получаем

\frac{k(d-x)}2=\mu mg,\qquad x=d-\frac{2\mu mg}{k}. \tag{1}

Чтобы после первой остановки груз не начал двигаться обратно, сила упругости должна удерживаться трением покоя. В модели сухого трения с данным коэффициентом

F_{\text{тр.пок}}=kx\leq\mu mg.

Максимальному начальному растяжению соответствует наибольшее удерживаемое сжатие

x_{\max}=\mu mg/k

. Подставляя его в (1), находим

d_{\max}=x_{\max}+\frac{2\mu mg}{k}=\frac{3\mu mg}{k}.

Численно

\begin{gathered}d_{\max}=\frac{3\cdot0{,}2\cdot1\cdot10}{100}=0{,}06\ \text{м}\\=6\ \text{см}.\end{gathered}

Проверим требуемый характер движения: при этом

x_{\max}=0{,}02

>0

, а начальная сила упругости

kd_{\max}=6

Н превышает максимальное трение покоя

2

Н, так что груз начинает двигаться. Условие сжатия без последующего обратного движения в общем виде:

2\mu mg/k<d\leq3\mu mg/k

Законы сохранения в механике: К одному концу легкой пружины...

Похожие задачи