Законы сохранения: Небольшой брусок массой 100 г, скользящий; 10 см, 100, 2, 30 · ЕГЭ №26

Условие, ответ и разбор задачи

Сложные задачи по механике с обоснованием моделиПрофиматика

Небольшой брусок массой $m =$ 100 г, скользящий по гладкой горизонтальной поверхности, абсолютно неупруго сталкивается с неподвижным телом массой $M$ = 2 $m$ . При дальнейшем поступательном движении тела налетают на недеформированную пружину, одним концом прикреплённую к стене (см. рисунок). Через какое время $t$ после абсолютно неупругого удара бруски вернутся в точку столкновения? Скорость движения бруска до столкновения $\upsilon$ = 2 м/с, жёсткость пружины $k$ = 30 Н/м, а расстояние от точки столкновения до пружины $L$ = 10 см.

Рисунок 1 (условие) к задаче 51 подборки «Задание 26»

Решение

Обоснование.

1. СО, связанную с Землёй, считаем инерциальной.

2. Тела движутся поступательно, поэтому описываем их моделью материальной точки.

3. Для материальных точек в ИСО применим второй закон Ньютона.

4. При ударе для системы двух брусков внешние силы вертикальны; сохраняется горизонтальная проекция импульса. После неупругого удара скорости брусков одинаковы.

5. Вне контакта с пружиной горизонтальных сил нет; движение равномерное.

6. Пружина лёгкая и упругая:

F_x=-kx

. Поэтому движение при контакте гармоническое,

T=2\pi\sqrt{(m+M)/k}

.

7. При контакте для системы "бруски + пружина" работы тяжести и реакции равны нулю, трения нет. Механическая энергия сохраняется.

Решение.

Скорость слипшихся брусков

u

найдём из сохранения импульса:

mv=(m+M)u=3mu,\qquad u=\frac v3=\frac23\ \text{м/с}.

Путь до недеформированной пружины и обратно равен

2L

, время его прохождения

t_1=2L/u

. От первого контакта до возврата пружины в недеформированное состояние проходит половина периода пружинного маятника:

T=2\pi\sqrt{\frac{m+M}{k}},\qquad t_2=\frac T2.

Следовательно,

t=\frac{2L}{u}+\pi\sqrt{\frac{3m}{k}} =\frac{0{,}20}{2/3}+\pi\sqrt{\frac{0{,}30}{30}} \approx0{,}614\ \text{с}.

Законы сохранения: Небольшой брусок массой 100 г, скользящий; 10 см, 100, 2, 30 · ЕГЭ №26

Похожие задачи