Законы сохранения: Шарик падает с высоты 2 м над поверхностью Земли; 2, 1, 1,25 · ЕГЭ №26

Условие, ответ и разбор задачи

Сложные задачи по механике с обоснованием моделиПрофиматика

Шарик падает с высоты $H =$ 2 м над поверхностью Земли из состояния покоя. На высоте $h =$ 1 м он абсолютно упруго ударяется о доску, расположенную под углом к горизонту (cм. рисунок). После этого удара шарик поднялся на максимальную высоту $h_{1}$ = 1,25 м от поверхности Земли. Какой угол $\alpha$ составляет доска с горизонтом? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Рисунок 1 (условие) к задаче 34 подборки «Задание 26»

Решение

Обоснование.

1. СО, связанную с Землёй, считаем инерциальной.

2. Размеры шарика малы по сравнению с высотами движения; считаем его материальной точкой.

3. Для материальных точек в ИСО применим второй закон Ньютона.

4. До удара для системы "шарик + Земля" нет внешних и диссипативных сил; применим закон сохранения механической энергии.

5. Доску считаем неподвижной и гладкой. При упругом ударе модуль скорости сохраняется; касательного импульса нет, поэтому касательная компонента скорости неизменна, а нормальная меняет знак.

6. После удара действует только тяжесть:

a_y=-g

; применимы формулы равноускоренного движения.

Решение.

Скорость перед ударом найдём из сохранения энергии:

v=\sqrt{2g(H-h)}.

Вертикальная скорость после удара

v_y

определяется подъёмом от

h

до

h_1

v_y=\sqrt{2g(h_1-h)},\qquad \frac{v_y}{v}=\sqrt{\frac{h_1-h}{H-h}}=\frac12.

Пусть единичная нормаль к доске имеет компоненты

(\sin\alpha,\cos\alpha)

. У входящей скорости

(0,-v)

нормальная компонента равна

-v\cos\alpha

. При изменении её знака вертикальная скорость становится

v_y=-v+2v\cos^2\alpha=v\cos2\alpha.

Следовательно,

\cos2\alpha=1/2

. Поскольку шар после удара поднимается, выбираем

\alpha=30^\circ

. Обозначение на исходном эскизе. В оригинале дуга с буквой

\alpha

нарисована у вертикали. Вопрос условия просит угол доски с горизонтом; он равен

30^\circ

. Дополнительный угол с вертикалью равен

60^\circ

. В рисунке к решению угол с горизонтом показан явно.

Рисунок 1 (решение) к задаче 34 подборки «Задание 26»

Законы сохранения: Шарик падает с высоты 2 м над поверхностью Земли; 2, 1, 1,25 · ЕГЭ №26

Похожие задачи