Четырёхугольник ABCD со сторонами AB=43,CD=4 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB=60∘. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
Ответ:
Решение
Проведём через D прямую DM∥AC. Тогда ∠BDM=∠AKB=60∘. Хорды AM и CD равны, поэтому AM=4. Вписанный четырёхугольник ABDM даёт ∠MAB=180∘−60∘=120∘. В треугольнике ABM по теореме косинусов BM2=432+42−2⋅43⋅4cos120∘=2037. Значит, BM=2037. По теореме синусов R=2sin60∘BM=2sin60∘2037=679.
