Четырёхугольник ABCD со сторонами AB=12,CD=30 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB=60∘. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
Ответ:
Решение
Проведём через D прямую DM∥AC. Тогда ∠BDM=∠AKB=60∘. Хорды AM и CD равны, поэтому AM=30. Вписанный четырёхугольник ABDM даёт ∠MAB=180∘−60∘=120∘. В треугольнике ABM по теореме косинусов BM2=122+302−2⋅12⋅30cos120∘=1404. Значит, BM=639. По теореме синусов R=2sin60∘BM=2sin60∘639=613.
