Четырёхугольник ABCD со сторонами AB=39,CD=12 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB=60∘. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
Ответ:
Решение
Проведём через D прямую DM∥AC. Тогда ∠BDM=∠AKB=60∘. Хорды AM и CD равны, поэтому AM=12. Вписанный четырёхугольник ABDM даёт ∠MAB=180∘−60∘=120∘. В треугольнике ABM по теореме косинусов BM2=392+122−2⋅39⋅12cos120∘=2133. Значит, BM=3237. По теореме синусов R=2sin60∘BM=2sin60∘3237=379.
