Законы сохранения в механике: [Рисунок] В установке,...

Условие, ответ и разбор задачи

Сложные задачи по механике с обоснованием моделиВариант профиматики 2026 №1Профиматика

В установке, изображенной на рисунке, грузик

A

соединен перекинутой через блок нитью с бруском

B

, лежащим на горизонтальной поверхности трибометра, закрепленного на столе. Грузик отводят в сторону, приподнимая его на некоторую высоту

h

, и отпускают. Какую величину должна превзойти эта высота, чтобы брусок сдвинулся с места в тот момент, когда грузик проходит нижнюю точку траектории? Масса грузика

m

, масса бруска

M

, длина свисающей части нити

L

, коэффициент трения между бруском и поверхностью

\mu

. Трением в блоке, а также размерами блока пренебречь.

Какие законы Вы используете для описания движения грузика и бруска? Обоснуйте их применение.

Исходный рисунок к задаче 26 варианта профиматики 2026 №1

Решение

Задание 26

Решение

1. Скорость грузика

A

в нижней точке траектории

Примем уровень нижней точки траектории за нулевой уровень потенциальной энергии.

• В начальном состоянии (на высоте

h

над нижней точкой) скорость грузика равна нулю:

E_1 = m g h

• В нижней точке траектории потенциальная энергия равна нулю, а кинетическая энергия максимальна:

E_2 = \frac{m v^2}{2}

По закону сохранения механической энергии (

E_1 = E_2

m g h = \frac{m v^2}{2} \implies v^2 = 2 g h

2. Сила натяжения нити в нижней точке траектории

В нижней точке траектории на грузик

A

действуют сила тяжести

m\vec{g}

(вниз) и сила натяжения нити

\vec{T}

(вверх). Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось, направленную вертикально вверх (вдоль центростремительного ускорения):

T - m g = m a_c

Подставим формулу центростремительного ускорения

a_c = \dfrac{v^2}{L}

и выражение (3):

\begin{gathered}T - m g = m \cdot \frac{2 g h}{L} \implies T \\= m g \left(1 + \frac{2h}{L}\right)\end{gathered}

3. Условие сдвига бруска

B

с места

На брусок

B

действуют по вертикали сила тяжести

M\vec{g}

и сила нормальной реакции опоры

\vec{N}

. Из второго закона Ньютона для бруска по вертикали:

N - M g = 0 \implies N = M g

Максимальная сила трения покоя, действующая на брусок

B

F_{\text{тр, max}} = \mu N = \mu M g

Брусок

B

сдвинется с места в момент прохождения грузиком нижней точки, если горизонтальная сила натяжения

T

превысит максимальную силу трения покоя:

T > F_{\text{тр, max}}

4. Определение условия для высоты

h

Подставим выражения (5) и (7) в неравенство (8):

m g \left(1 + \frac{2h}{L}\right) > \mu M g

Разделим обе части неравенства на

m g > 0

1 + \frac{2h}{L} > \frac{\mu M}{m}

\frac{2h}{L} > \frac{\mu M}{m} - 1

\begin{gathered}h > \frac{L}{2} \left(\frac{\mu M}{m} - 1\right) \\= \frac{(\mu M - m)L}{2m} \quad (\text{при } \mu M > m)\end{gathered}

Обоснование применения законов

1. Инерциальная система отсчёта (ИСО): Рассмотрим систему отсчёта, связанную с Землей. Данную систему отсчёта будем считать инерциальной.

2. Модель материальной точки: Грузик

A

и брусок

B

будем моделировать материальными точками, так как их собственные размеры малы по сравнению с длиной нити

L

, а брусок движется поступательно.

3. Закон сохранения механической энергии (ЗСМЭ): При движении грузика

A

на него действуют консервативная сила тяжести

m\vec g

и неконсервативная сила натяжения нити

\vec{T}

. Сила натяжения

\vec{T}

в любой момент времени перпендикулярна вектору скорости грузика

\vec{v}

, поэтому её работа

A_T = 0

. Сопротивлением воздуха пренебрегаем. Следовательно, в ИСО полная механическая энергия грузика

A

сохраняется.

4. Второй закон Ньютона и кинематика кругового движения: В нижней точке траектории грузик

A

движется по дуге окружности радиуса

L

с центростремительным ускорением

a_c = \dfrac{v^2}{L}

, направленным вертикально вверх (к блоку).

5. Свойства нити и блока: Нить является невесомой и нерастяжимой, а трение в блоке отсутствует. Поэтому модуль силы натяжения нити

T

одинаков во всех её точках. Сила натяжения, действующая на брусок

B

горизонтально, равна по модулю силе натяжения, действующей на грузик

A

.

6. Условие начала движения бруска: Брусок

B

сдвинется с места, если сила натяжения нити

T

превысит максимальное значение силы трения покоя:

T > F_{\text{тр, max}} = \mu N

Законы сохранения в механике: [Рисунок] В установке,...

Похожие задачи