Раздел II. Предел и непрерывность функции — § 9. Предел функции

Кудрявцев — задача 9.9

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 9.9

Пусть f(x)f(x) и g(x)g(x) не имеют предела в точке x0x_0. Следует ли отсюда, что f+gf+g и fgfg также не имеют предела?
Ответ:не следует ни для суммы, ни для произведения\text{не следует ни для суммы, ни для произведения}

Решение

Сумма. Нет. Пример: f(x)=1xf(x)=\dfrac{1}{x}, g(x)=−1xg(x)=-\dfrac{1}{x}, x0=0x_0=0. Обе не имеют предела, но f+g=0f+g=0 имеет предел 00. Произведение. Нет. Пример: f(x)={1,x∈Q,−1,x∉Q,f(x)=\begin{cases}1,&x\in\mathbb Q,-1,&x\notin\mathbb Q,\end{cases}, g(x)={−1,x∈Q,1,x∉Q.g(x)=\begin{cases}-1,&x\in\mathbb Q,\\1,&x\notin\mathbb Q.\end{cases} Обе не имеют предела в нуле, но fg=−1fg=-1 для всех xx, предел равен −1-1.