Раздел II. Предел и непрерывность функции — § 9. Предел функции

Кудрявцев — задача 9.8

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 9.8

Доказать, что lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x\to+\infty}f(x) не существует:
1) f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x;
2) f(x)=x−E(x)f(x)=x-E(x).

Доказательство

Последовательности xn′=2πnx_n'=2\pi n и xn′′=π+2πnx_n''=\pi+2\pi n стремятся к +∞+\infty. cos⁡xn′=1→1\cos x_n'=1\to1, cos⁡xn′′=−1→−1\cos x_n''=-1\to-1. Пределы различны, поэтому предела нет.

Последовательности xn′=nx_n'=n и xn′′=n+12x_n''=n+\dfrac12 стремятся к +∞+\infty. f(xn′)=0→0f(x_n')=0\to0, f(xn′′)=12→12f(x_n'')=\dfrac12\to\dfrac12. Пределы различны, предела нет.

Что и требовалось доказать