Раздел II. Предел и непрерывность функции — § 9. Предел функции

Кудрявцев — задача 9.7

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 9.7

Доказать, что lim⁡x→0f(x)\lim_{x\to0}f(x) не существует:
1) f(x)=arcctg⁡1xf(x)=\operatorname{arcctg}\dfrac{1}{x};
2) f(x)=sign⁡sin⁡1xf(x)=\operatorname{sign}\sin\dfrac{1}{x}.

Доказательство

Для x>0x>0:lim⁡x→0+arcctg⁡1x=arcctg⁡(+∞)=0\lim_{x\to0+}\operatorname{arcctg}\dfrac{1}{x}=\operatorname{arcctg}(+\infty)=0.

Для x<0x<0: lim⁡x→0−arcctg⁡1x=arcctg⁡(−∞)=π\lim_{x\to0-}\operatorname{arcctg}\dfrac{1}{x}=\operatorname{arcctg}(-\infty)=\pi. Односторонние пределы различны, следовательно, двусторонний предел не существует.
Рассмотрим последовательности xn′=1π2+2πnx_n'=\dfrac{1}{\frac{\pi}{2}+2\pi n}, xn′′=1−π2+2πnx_n''=\dfrac{1}{-\frac{\pi}{2}+2\pi n}. Обе сходятся к 00. Для xn′x_n': sin⁡1xn′=1\sin\dfrac{1}{x_n'}=1, f(xn′)=1f(x_n')=1, f(xn′)→1f(x_n')\to1. Для xn′′x_n'': sin⁡1xn′′=−1\sin\dfrac{1}{x_n''}=-1, f(xn′′)=−1f(x_n'')=-1, f(xn′′)→−1f(x_n'')\to-1. Пределы различны, значит, предела нет.

Что и требовалось доказать