Раздел II. Предел и непрерывность функции — § 9. Предел функции

Кудрявцев — задача 9.64

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 9.64

Найти lim‾⁡x→+∞f(x)\varlimsup_{x\to+\infty}f(x) и lim‾⁡x→+∞f(x)\varliminf_{x\to+\infty}f(x):

1) f(x)=π2cos⁡2x+arctg⁡xf(x)=\dfrac{\pi}{2}\cos^2 x+\operatorname{arctg}x;
2) f(x)=1+x+6x21−x+2x2sin⁡x2f(x)=\dfrac{1+x+6x^2}{1-x+2x^2}\sin x^2;

3) f(x)=(4x2+x+1−4x2−x+1)(1+cos⁡2x)f(x)=\left(\sqrt{4x^2+x+1}-\sqrt{4x^2-x+1}\right)(1+\cos2x);
4) f(x)=(1+cos⁡2x)1/cos⁡2xf(x)=\left(1+\cos^2 x\right)^{1/\cos^2 x}.
Ответ:1) lim‾⁡=π, lim‾⁡=π2;1)\ \varlimsup=\pi,\ \varliminf=\dfrac{\pi}{2};
2) lim‾⁡=3, lim‾⁡=−3;2)\ \varlimsup=3,\ \varliminf=-3;
3) lim‾⁡=1, lim‾⁡=0;3)\ \varlimsup=1,\ \varliminf=0;
4) lim‾⁡=e, lim‾⁡=24)\ \varlimsup=e,\ \varliminf=2

Решение

При x→+∞x\to+\infty: arctg⁡x→π2\operatorname{arctg}x\to\dfrac{\pi}{2}. Следовательно,f(x)=π2cos⁡2x+π2+o(1)=π2(cos⁡2x+1)+o(1).f(x)=\dfrac{\pi}{2}\cos^2 x+\dfrac{\pi}{2}+o(1)
=
\dfrac{\pi}{2}(\cos^2 x+1)+o(1).Величина cos⁡2x+1\cos^2 x+1 принимает значения из отрезка [1,2][1,2]. Поэтому lim‾⁡=π\varlimsup=\pi, lim‾⁡=π2\varliminf=\dfrac{\pi}{2}.

При x→+∞x\to+\infty:1+x+6x21−x+2x2→\dfrac{1+x+6x^2}{1-x+2x^2}
\toМножитель sin⁡x2\sin x^2 принимает значения из отрезка [−1,1][-1,1]. Следовательно,
lim‾⁡=3\varlimsup=3, lim‾⁡=−3\varliminf=-3.
Преобразуем разность корней:4x2+x+1−4x2−x+1=2x4x2+x+1+4x2−x+1→12.\sqrt{4x^2+x+1}-\sqrt{4x^2-x+1}
=
\dfrac{2x}{\sqrt{4x^2+x+1}+\sqrt{4x^2-x+1}}
\to
\dfrac12.Следовательно, f(x)=(12+o(1))(1+cos⁡2x)=cos⁡2x+o(1)f(x)=\left(\dfrac12+o(1)\right)(1+\cos2x)=\cos^2 x+o(1). Так как
cos⁡2x∈[0,1]\cos^2 x\in[0,1], получаем lim‾⁡=1\varlimsup=1, lim‾⁡=0\varliminf=0.

Проверка

4. Обозначим y=cos⁡2xy=\cos^2 x. Тогда y∈[0,1]y\in[0,1], и f(x)=(1+y)1/yf(x)=(1+y)^{1/y}, при y=0y=0 выражение доопределяется по непрерывности.
Исследуем функцию g(y)=(1+y)1/yg(y)=(1+y)^{1/y} на (0,1](0,1]. Производная:ln⁡g(y)=ln⁡(1+y)y,\ln g(y)=\dfrac{\ln(1+y)}{y},g′(y)g(y)=y1+y−ln⁡(1+y)y2.\dfrac{g'(y)}{g(y)}
=
\dfrac{\dfrac{y}{1+y}-\ln(1+y)}{y^2}.Числитель y1+y−ln⁡(1+y)<0\dfrac{y}{1+y}-\ln(1+y)<0 при y>0y>0, поэтому g(y)g(y) убывает на (0,1](0,1]. Следовательно, lim⁡y→0+g(y)=e\lim_{y\to0+}g(y)=e, а g(1)=2g(1)=2. Значит, множество значений g(y)g(y) есть отрезок [2,e][2,e]. Поэтому lim‾⁡=e\varlimsup=e, lim‾⁡=2\varliminf=2.
Кудрявцев № 9.64 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика