Раздел II. Предел и непрерывность функции — § 9. Предел функции

Кудрявцев — задача 9.63

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 9.63

Найти lim‾⁡x→x0f(x)\varlimsup_{x\to x_0}f(x) и lim‾⁡x→x0f(x)\varliminf_{x\to x_0}f(x):

1) f(x)=ecos⁡(1/x2)f(x)=e^{\cos(1/x^2)};
2) f(x)=1x2sin⁡21xf(x)=\dfrac1{x^2}\sin^2\dfrac1x;
3) f(x)=arcctg⁡1xf(x)=\operatorname{arcctg}\dfrac1x;
4) f(x)=1x2−1x−1xf(x)=\sqrt{\dfrac1{x^2}-\dfrac1x}-\dfrac1x.
Ответ:1) lim‾⁡=e, lim‾⁡=e−1;1)\ \varlimsup=e,\ \varliminf=e^{-1};
2) lim‾⁡=+∞, lim‾⁡=0;2)\ \varlimsup=+\infty,\ \varliminf=0;
3) lim‾⁡=π, lim‾⁡=0;3)\ \varlimsup=\pi,\ \varliminf=0;
4) lim‾⁡=+∞, lim‾⁡=−124)\ \varlimsup=+\infty,\ \varliminf=-\dfrac12

Решение

При x→0x\to0 величина 1x2→+∞\dfrac1{x^2}\to+\infty. Косинус принимает значения из отрезка [−1,1][-1,1], причём в любой окрестности нуля существуют точки, в которых cos⁡(1/x2)\cos(1/x^2) сколь угодно близок к 11, и точки, в которых он сколь угодно близок к −1-1. Следовательно, множество значений ecos⁡(1/x2)e^{\cos(1/x^2)} заполняет отрезок [e−1,e][e^{-1},e]. Поэтому lim‾⁡=e\varlimsup=e, lim‾⁡=e−1\varliminf=e^{-1}.

При x→0x\to0 множитель 1x2→+∞\dfrac1{x^2}\to+\infty, а sin⁡21x∈[0,1]\sin^2\dfrac1x\in[0,1]. В точках x=1πkx=\dfrac1{\pi k}, k∈Zk\in\mathbb Z, sin⁡1x=0\sin\dfrac1x=0, поэтому f(x)=0f(x)=0. В точках x=1π/2+2πkx=\dfrac1{\pi/2+2\pi k}, sin⁡21x=1\sin^2\dfrac1x=1, поэтому f(x)=1x2→+∞f(x)=\dfrac1{x^2}\to+\infty. Следовательно, lim‾⁡=+∞\varlimsup=+\infty, lim‾⁡=0\varliminf=0.

При x→0+x\to0+ имеем 1x→+∞\dfrac1x\to+\infty, поэтому arcctg⁡1x→0\operatorname{arcctg}\dfrac1x\to0. При x→0−x\to0- имеем 1x→−∞\dfrac1x\to-\infty, поэтому arcctg⁡1x→π\operatorname{arcctg}\dfrac1x\to\pi. Следовательно, lim‾⁡=π\varlimsup=\pi, lim‾⁡=0\varliminf=0.

Проверка

4. Рассмотрим отдельно x→0+x\to0+ и x→0−x\to0-.
При x>0x>0:f(x)=1−xx2−1x=1−x−1x∼−x2x=−12.f(x)=\sqrt{\dfrac{1-x}{x^2}}-\dfrac1x
=
\dfrac{\sqrt{1-x}-1}{x}
\sim
\dfrac{-\frac{x}{2}}{x}
=
-\dfrac12.Следовательно, lim⁡x→0+f(x)=−12\lim_{x\to0+}f(x)=-\dfrac12.
При x<0x<0:f(x)=1−xx2−1x=1−x∣x∣−1x=1−x−x−1x=−1−x+1x.f(x)=\sqrt{\dfrac{1-x}{x^2}}-\dfrac1x
=
\dfrac{\sqrt{1-x}}{|x|}-\dfrac1x
=
\dfrac{\sqrt{1-x}}{-x}-\dfrac1x
=
-\dfrac{\sqrt{1-x}+1}{x}.При x→0−x\to0- знаменатель отрицателен и стремится к нулю, числитель 1−x+1→2\sqrt{1-x}+1\to2, поэтому f(x)→+∞f(x)\to+\infty.
Следовательно, lim‾⁡=+∞\varlimsup=+\infty, lim‾⁡=−12\varliminf=-\dfrac12.
Кудрявцев № 9.63 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика