Раздел II. Предел и непрерывность функции — § 9. Предел функции

Кудрявцев — задача 9.62

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 9.62

Пусть функция f(x)f(x), определённая на (x0;+∞)(x_0;+\infty), ограничена на каждом интервале вида (x0;x1)(x_0;x_1), x1<+∞x_1<+\infty. Пусть существует конечный или бесконечный пределL=lim⁡x→+∞f(x+1)−f(x)xn,n=0,1,2,…L=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x+1)-f(x)}{x^n},\qquad n=0,1,2,\dotsДоказать, чтоlim⁡x→+∞f(x)xn+1=Ln+1.\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x^{n+1}}
=
\dfrac{L}{n+1}.

Доказательство

Используем теорему Штольца для функций. Пусть F(x)=f(x)F(x)=f(x),
G(x)=xn+1G(x)=x^{n+1}. Функция G(x)G(x) строго монотонно возрастает при x>0x>0 и G(x)→+∞G(x)\to+\infty при x→+∞x\to+\infty.

Вычислим разность G(x+1)−G(x)=(x+1)n+1−xn+1G(x+1)-G(x) = (x+1)^{n+1}-x^{n+1}. По формуле бинома Ньютона(x+1)n+1−xn+1=(n+1)xn+o(xn).(x+1)^{n+1}-x^{n+1}
=
(n+1)x^n+o(x^n).Следовательно,F(x+1)−F(x)G(x+1)−G(x)=f(x+1)−f(x)(n+1)xn+o(xn)=1n+1⋅f(x+1)−f(x)xn⋅11+o(1).\dfrac{F(x+1)-F(x)}{G(x+1)-G(x)}
=
\dfrac{f(x+1)-f(x)}
{(n+1)x^n+o(x^n)}
=
\dfrac{1}{n+1}\cdot
\dfrac{f(x+1)-f(x)}{x^n}\cdot
\dfrac{1}{1+o(1)}.При x→+∞x\to+\infty последнее выражение стремится к Ln+1\dfrac{L}{n+1}.

По теореме Штольца для функций из существования предела отношения разностей следует существование предела отношения самих функций:lim⁡x→+∞F(x)G(x)=lim⁡x→+∞F(x+1)−F(x)G(x+1)−G(x)=Ln+1.\lim_{x\to+\infty}\dfrac{F(x)}{G(x)}
=
\lim_{x\to+\infty}
\dfrac{F(x+1)-F(x)}{G(x+1)-G(x)}
=
\dfrac{L}{n+1}.Подставляя F(x)=f(x)F(x)=f(x), G(x)=xn+1G(x)=x^{n+1}, получаем требуемое.

Что и требовалось доказать

Кудрявцев № 9.62 — решение | Высшая математика — Профиматика