Раздел II. Предел и непрерывность функции — § 9. Предел функции

Кудрявцев — задача 9.61

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 9.61

Пусть lim⁡x→x0f(x)=a\lim_{x\to x_0}f(x)=a и lim⁡t→t0g(t)=x0\lim_{t\to t_0}g(t)=x_0. Следует ли отсюда, что lim⁡t→t0f(g(t))=a\lim_{t\to t_0}f(g(t))=a?
Ответ:не следует\text{не следует}

Решение

Не следует. Приведём контрпример.

Пустьf(x)={0,x≠0,1,x=0,f(x)=
\begin{cases}
0, & x\ne 0,\\
1, & x=0,
\end{cases}и g(t)=0g(t)=0 для всех tt. Тогда x0=0x_0=0, lim⁡x→0f(x)=0\lim_{x\to0}f(x)=0, lim⁡t→t0g(t)=0\lim_{t\to t_0}g(t)=0. Однако f(g(t))=f(0)=1f(g(t))=f(0)=1 для всех tt, поэтому lim⁡t→t0f(g(t))=1≠0\lim_{t\to t_0}f(g(t))=1\ne0.

Проверка

Следовательно, утверждение неверно.
Кудрявцев № 9.61 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика