Раздел II. Предел и непрерывность функции — § 9. Предел функции

Кудрявцев — задача 9.60

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 9.60

Пустьf(x)={1q,x=pq, p,q∈Z, q>0, НОД(p,q)=1,0,x иррационально.f(x)=
\begin{cases}
\dfrac1q, & x=\dfrac pq,\ p,q\in\mathbb Z,\ q>0,\ \text{НОД}(p,q)=1,\\[4pt]
0, & x\ \text{иррационально}.
\end{cases}Найти lim⁡x→x0f(x)\lim_{x\to x_0}f(x) для произвольного x0∈Rx_0\in\mathbb R.
Ответ:00

Решение

Покажем, что предел равен 00. Зафиксируем ε>0\varepsilon>0. Выберем натуральное NN такое, что 1N<ε\dfrac1N<\varepsilon.
Рассмотрим все рациональные числа pq\dfrac pq в некоторой окрестности точки x0x_0, у которых знаменатель q≤Nq\le N. Количество таких чисел конечно. Следовательно, можно выбрать δ>0\delta>0 так, что в проколотой δ\delta-окрестности точки x0x_0 нет ни одного рационального числа pq\dfrac pq со знаменателем q≤Nq\le N.
Теперь для любого xx, удовлетворяющего 0<∣x−x0∣<δ0<|x-x_0|<\delta, возможны два случая.
xx иррационально. Тогда f(x)=0f(x)=0, значит ∣f(x)∣<ε|f(x)|<\varepsilon.
x=pqx=\dfrac pq рационально. Так как xx попало в проколотую δ\delta-окрестность, то q>Nq>N. Тогда ∣f(x)∣=1q<1N<ε|f(x)|=\dfrac1q<\dfrac1N<\varepsilon.

Проверка

Таким образом, для всех xx из проколотой δ\delta-окрестности выполняется ∣f(x)∣<ε|f(x)|<\varepsilon. Следовательно, lim⁡x→x0f(x)=0\lim_{x\to x_0}f(x)=0.
Кудрявцев № 9.60 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика