Раздел II. Предел и непрерывность функции — § 9. Предел функции

Кудрявцев — задача 9.6

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 9.6

При каких δ\delta из x<δx<\delta следует arctg⁡x+π2<ε\operatorname{arctg}x+\dfrac{\pi}{2}<\varepsilon?
Ответ:при ε≥π: δ любое положительное; при π2<ε<π: δ≤−ctg⁡ε;  при 0<ε≤π2: δ не существует; предел −π2\text{при}\ \varepsilon\ge\pi:\ \delta\ \text{любое положительное};\ \text{при}\ \dfrac{\pi}{2}<\varepsilon<\pi:\ \delta\le-\ctg\varepsilon;\ \ \text{при}\ 0<\varepsilon\le\dfrac{\pi}{2}:\ \delta\ \text{не существует};\ \text{предел}\ -\dfrac{\pi}{2}

Решение

Рассмотрим функцию y(x)=arctg⁡x+π2y(x)=\operatorname{arctg}x+\dfrac{\pi}{2}. Она положительна и стремится к 00 при x→−∞x\to-\infty. Неравенствоarctg⁡x+π2<ε\operatorname{arctg}x+\dfrac{\pi}{2}<\varepsilonравносильноarctg⁡x<ε−π2.\operatorname{arctg}x<\varepsilon-\dfrac{\pi}{2}.Так как arctg⁡x∈(−π2,π2)\operatorname{arctg}x\in\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right), при ε≥π\varepsilon\ge\pi правая часть не меньше π2\dfrac{\pi}{2}, и неравенство выполняется для всех xx. В этом случае δ\delta — любое положительное число. Если
π2<ε<π\dfrac{\pi}{2}<\varepsilon<\pi, то правая часть положительна и меньше π2\dfrac{\pi}{2}. Тогдаarctg⁡x<ε−π2⟺x<tg⁡(ε−π2)=−ctg⁡ε.\operatorname{arctg}x<\varepsilon-\dfrac{\pi}{2} \Longleftrightarrow x<\tg\left(\varepsilon-\dfrac{\pi}{2}\right)=-\ctg\varepsilon.Следовательно, δ≤−ctg⁡ε\delta\le-\ctg\varepsilon. Если 0<ε≤π20<\varepsilon\le\dfrac{\pi}{2}, то правая часть ε−π2≤0\varepsilon-\dfrac{\pi}{2}\le0. Так как при x=0x=0 имеем arctg⁡0+π2=π2>ε\operatorname{arctg}0+\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\pi}{2}>\varepsilon, а x=0x=0 попадает в любую положительную окрестность вида x<δx<\delta, положительного δ\delta не существует.

Предел: lim⁡x→−∞arctg⁡x=−π2\lim_{x\to-\infty}\operatorname{arctg}x=-\dfrac{\pi}{2}.
Кудрявцев № 9.6 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика