Раздел II. Предел и непрерывность функции — § 9. Предел функции

Кудрявцев — задача 9.59

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 9.59

Пусть lim⁡t→t0φ(t)=x0\lim_{t\to t_0}\varphi(t)=x_0, причём φ(t)≠x0\varphi(t)\ne x_0 при t≠t0t\ne t_0 в некоторой окрестности t0t_0. Доказать:

1) если f(x)=o(g(x))f(x)=o(g(x)) при x→x0x\to x_0, то f(φ(t))=o(g(φ(t)))f(\varphi(t))=o(g(\varphi(t))) при t→t0t\to t_0;

2) если f(x)=O(g(x))f(x)=O(g(x)) при x→x0x\to x_0, то f(φ(t))=O(g(φ(t)))f(\varphi(t))=O(g(\varphi(t))) при t→t0t\to t_0.

Доказательство

По определению o(g(x))o(g(x)):lim⁡x→x0f(x)g(x)=0.\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=0.Так как lim⁡t→t0φ(t)=x0\lim_{t\to t_0}\varphi(t)=x_0, причём φ(t)≠x0\varphi(t)\ne x_0 в проколотой окрестности t0t_0, то по теореме о пределе композицииlim⁡t→t0f(φ(t))g(φ(t))=lim⁡x→x0f(x)g(x)=\lim_{t\to t_0}\dfrac{f(\varphi(t))}{g(\varphi(t))}
=
\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)}
=Поэтому f(φ(t))=o(g(φ(t)))f(\varphi(t))=o(g(\varphi(t))).

По определению O(g(x))O(g(x)) существуют окрестность UU точки x0x_0 и постоянная C>0C>0 такие, что для всех x∈Ux\in U, x≠x0x\ne x_0, выполняется ∣f(x)g(x)∣≤C\left|\dfrac{f(x)}{g(x)}\right|\le C.
Так как φ(t)→x0\varphi(t)\to x_0 и φ(t)≠x0\varphi(t)\ne x_0 в некоторой проколотой окрестности t0t_0, то для всех tt, достаточно близких к t0t_0, φ(t)∈U\varphi(t)\in U, φ(t)≠x0\varphi(t)\ne x_0. Тогда∣f(φ(t))g(φ(t))∣≤C.\left|\dfrac{f(\varphi(t))}{g(\varphi(t))}\right|\le C.Значит, f(φ(t))=O(g(φ(t)))f(\varphi(t))=O(g(\varphi(t))).

Что и требовалось доказать

Кудрявцев № 9.59 — решение | Высшая математика — Профиматика