Раздел II. Предел и непрерывность функции — § 9. Предел функции

Кудрявцев — задача 9.58

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 9.58

Найти пределы:

1) lim⁡x→2arctg⁡(2−x)+sin⁡(x−2)2x2−4\lim_{x \to 2} \dfrac{\operatorname{arctg}(2-x)+\sin(x-2)^2}{x^2-4};
2) lim⁡x→01+x23+x3−1ln⁡cos⁡x\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt[3]{1+x^2}+x^3-1}{\ln\cos x};

3) lim⁡x→0x2(1+3x3−1)+sin⁡3x1−1+x3\lim_{x \to 0} \dfrac{x^2(\sqrt[3]{1+3x}-1)+\sin^3 x}{1-\sqrt{1+x^3}};

4) lim⁡x→0(sin⁡2x−2tg⁡x)2+(1−cos⁡2x)3tg⁡76x+sin⁡6x\lim_{x \to 0} \dfrac{(\sin 2x-2\operatorname{tg}x)^2+(1-\cos 2x)^3}{\operatorname{tg}^7 6x+\sin^6 x}.
Ответ:1) −14;1)\ -\dfrac14;
2) −23;2)\ -\dfrac23;
3) −4;3)\ -4;
4) 124)\ 12

Решение

Сделаем замену t=x−2t=x-2, тогда t→0t\to0, x2−4=(x−2)(x+2)=t(t+4)x^2-4=(x-2)(x+2)=t(t+4).
Числитель:arctg⁡(2−x)=arctg⁡(−t),sin⁡(x−2)2=sin⁡t2.\operatorname{arctg}(2-x)=\operatorname{arctg}(-t),\qquad
\sin(x-2)^2=\sin t^2.При t→0t\to0: arctg⁡(−t)∼−t\operatorname{arctg}(-t)\sim -t, sin⁡t2∼t2\sin t^2\sim t^2.
Следовательно,arctg⁡(−t)+sin⁡t2t(t+4)=−t+t2+o(t2)t(t+4)==−1+t+o(t)t+4→−14.\begin{aligned}
\dfrac{\operatorname{arctg}(-t)+\sin t^2}{t(t+4)}
&=
\dfrac{-t+t^2+o(t^2)}{t(t+4)} = \\
&=
\dfrac{-1+t+o(t)}{t+4}
\to
\dfrac{-1}{4}.
\end{aligned}
Числитель:1+x23−1+x3=(1+13x2+o(x2))−1+x3=13x2+x3+o(x2)=13x2+o(x2).\sqrt[3]{1+x^2}-1+x^3
=
\left(1+\dfrac13 x^2+o(x^2)\right)-1+x^3
=
\dfrac13 x^2+x^3+o(x^2)
=
\dfrac13 x^2+o(x^2).Знаменатель:ln⁡cos⁡x=ln⁡(1−(1−cos⁡x))∼−(1−cos⁡x)∼−x22.\ln\cos x
=
\ln\left(1-(1-\cos x)\right)
\sim
-(1-\cos x)
\sim
-\dfrac{x^2}{2}.Следовательно,13x2+o(x2)−12x2+o(x2)→−23.\dfrac{\frac13 x^2+o(x^2)}{-\frac12 x^2+o(x^2)}
\to
-\dfrac{2}{3}.При x→0x\to0:1+3x3−1=3x(1+3x)2/3+(1+3x)1/3+1∼x.\sqrt[3]{1+3x}-1
=
\dfrac{3x}{(1+3x)^{2/3}+(1+3x)^{1/3}+1}
\sim x.Следовательно, x2(1+3x3−1)∼x3x^2(\sqrt[3]{1+3x}-1)\sim x^3. Также sin⁡3x∼x3\sin^3 x\sim x^3.
Поэтому числитель x2(1+3x3−1)+sin⁡3x∼2x3x^2(\sqrt[3]{1+3x}-1)+\sin^3 x \sim 2x^3.
Знаменатель:1−1+x3=−x31+1+x3∼−x32.1-\sqrt{1+x^3}
=
\dfrac{-x^3}{1+\sqrt{1+x^3}}
\sim
-\dfrac{x^3}{2}.Отсюда lim⁡x→02x3−12x3=−4\lim_{x \to 0} \dfrac{2x^3}{-\frac12 x^3} = -4.

Проверка

4. Разложим главные члены.sin⁡2x=2x−(2x)36+o(x3)=2x−43x3+o(x3),\sin 2x=2x-\dfrac{(2x)^3}{6}+o(x^3)
=
2x-\dfrac43 x^3+o(x^3),2tg⁡x=2(x+x33+o(x3))=2x+23x3+o(x3).2\operatorname{tg}x
=
2\left(x+\dfrac{x^3}{3}+o(x^3)\right)
=
2x+\dfrac23 x^3+o(x^3).Тогдаsin⁡2x−2tg⁡x=(2x−43x3)−(2x+23x3)+o(x3)==−2x3+o(x3).\begin{aligned}
\sin 2x-2\operatorname{tg}x
&=
\left(2x-\dfrac43 x^3\right)
-
\left(2x+\dfrac23 x^3\right)
+o(x^3) = \\
&=
-2x^3+o(x^3).
\end{aligned}Следовательно, (sin⁡2x−2tg⁡x)2∼4x6(\sin 2x-2\operatorname{tg}x)^2 \sim 4x^6.
Далее, 1−cos⁡2x=2sin⁡2x=2x2+o(x2)1-\cos 2x = 2\sin^2 x = 2x^2+o(x^2), поэтому (1−cos⁡2x)3∼8x6(1-\cos 2x)^3 \sim 8x^6.
Числитель: 4x6+8x6=12x64x^6+8x^6=12x^6.
Знаменатель: tg⁡76x=o(x6)\operatorname{tg}^7 6x = o(x^6), sin⁡6x=x6+o(x6)\sin^6 x = x^6+o(x^6).
Следовательно, знаменатель ∼x6\sim x^6.
Искомый предел: 12x6x6=12\dfrac{12x^6}{x^6}=12.
Кудрявцев № 9.58 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика