Раздел II. Предел и непрерывность функции — § 9. Предел функции

Кудрявцев — задача 9.55

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие и подробное решение по шагам.

Доказать,

x\to0,\ n,k\in\mathbb N,\ n>k

:

1)

O(x^n)+O(x^k)=O(x^k)

;
2)

O(x^n)\cdot O(x^k)=O(x^{n+k})

Доказательство

Пусть

f=O(x^n)

g=O(x^k)

. Тогда существуют

C_1>0

C_2>0

и окрестность нуля, в которой

|f(x)|\le C_1|x|^n

|g(x)|\le C_2|x|^k

. Так как

n>k

x\to0

, для достаточно малых

|x|\le1

|x|^n=|x|^k|x|^{n-k}\le |x|^k

. Следовательно,

|f(x)|\le C_1|x|^k

. Тогда

|f(x)+g(x)|\le|f(x)|+|g(x)|\le(C_1+C_2)|x|^k.

Значит,

f+g=O(x^k)

Проверка

2. Пусть

f=O(x^n)

g=O(x^k)

. Тогда

|f(x)|\le C_1|x|^n

|g(x)|\le C_2|x|^k

. Следовательно,

|f(x)g(x)|\le C_1C_2|x|^{n+k}

. Значит,

fg=O(x^{n+k})

Что и требовалось доказать