Раздел II. Предел и непрерывность функции — § 9. Предел функции

Кудрявцев — задача 9.54

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие и подробное решение по шагам.

Доказать:

1)

O(O(f))=O(f),\ x\to x_0

;
2)

o(O(f))=o(f),\ x\to x_0

;
3)

O(o(f))=o(f),\ x\to x_0

;

4)

o(f)+O(f)=O(f),\ x\to x_0

;
5)

o(f)\cdot O(f)=o(f^2),\ x\to x_0

Доказательство

Пусть

g=O(f)

h=O(g)

. Тогда существуют окрестность

x_0

и постоянные

C_1>0

C_2>0

, для которых

|g(x)|\le C_1|f(x)|

|h(x)|\le C_2|g(x)|

. Следовательно,

|h(x)|\le C_2C_1|f(x)|

. Значит

h=O(f)

.

Пусть

g=O(f)

h=o(g)

. Тогда

\dfrac{h}{g}\to0

, и существует

C>0

такая, что

|g|\le C|f|

. Рассмотрим

\left|\dfrac{h}{f}\right|=\left|\dfrac{h}{g}\right|\cdot\left|\dfrac{g}{f}\right|\leC\left|\dfrac{h}{g}\right|\to0.

Следовательно,

h=o(f)

.

Пусть

g=o(f)

h=O(g)

. Тогда

\dfrac{g}{f}\to0

, и существует

C>0

такая, что

|h|\le C|g|

. Тогда

\left|\dfrac{h}{f}\right|\leC\left|\dfrac{g}{f}\right|\to0.

Следовательно,

h=o(f)

.

Пусть

g=o(f)

h=O(f)

. Так как

g/f\to0

, в некоторой окрестности

x_0

выполняется

|g|\le |f|

. Также существует

C>0

такая, что

|h|\le C|f|

. Тогда

|g+h|\le |g|+|h|\le |f|+C|f|=(C+1)|f|.

Следовательно,

g+h=O(f)

Проверка

5. Пусть

g=o(f)

h=O(f)

. Тогда

\dfrac{g}{f}\to0

, и существует

C>0

такая, что

|h|\le C|f|

. Рассмотрим

\left|\dfrac{gh}{f^2}\right|=\left|\dfrac{g}{f}\right|\cdot\left|\dfrac{h}{f}\right|\leC\left|\dfrac{g}{f}\right|\to0.

Следовательно,

gh=o(f^2)

Что и требовалось доказать