Раздел II. Предел и непрерывность функции — § 9. Предел функции

Кудрявцев — задача 9.53

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Проверить:

1)

100x+x\sin x=O(x),\ x\to\infty

;
2)

x=O(100x+x\sin x),\ x\to\infty

;

3)

x+x\sin x=O(x),\ x\to\infty

;

4)

x=O(x+x\sin x),\ x\to\infty

;
5)

\sqrt{x^2+1}-|x|=O\left(\dfrac1x\right),\ x\to\infty

;

6)

\dfrac1x=O\left(\sqrt{x^2+1}-|x|\right),\ x\to\infty

Ответ:

1)\ \text{верно};

2)\ \text{верно};

3)\ \text{верно};

4)\ \text{неверно};

5)\ \text{верно};

6)\ \text{верно}

Решение

При

x\neq0

\left|\dfrac{100x+x\sin x}{x}\right|=|100+\sin x|\le 101.

Отношение ограничено. Верно.

При

x\neq0

\left|\dfrac{x}{100x+x\sin x}\right|=\dfrac1{|100+\sin x|}\le\dfrac1{99}.

Отношение ограничено. Верно.

При

x\neq0

\left|\dfrac{x+x\sin x}{x}\right|=|1+\sin x|\le 2.

Отношение ограничено. Верно.

Рассмотрим отношение при

x\neq0

\left|\dfrac{x}{x+x\sin x}\right|=\dfrac1{|1+\sin x|}.

Величина

1+\sin x

может быть сколь угодно близка к нулю в точках вида

x=-\dfrac\pi2+2\pi k

, где

1+\sin x=0

. Следовательно, отношение неограничено. Неверно.

\sqrt{x^2+1}-|x|=\dfrac1{\sqrt{x^2+1}+|x|}\sim\dfrac1{2|x|}.

Тогда

\left(\sqrt{x^2+1}-|x|\right)\cdot|x|\sim\dfrac12,

то есть отношение к

1/|x|

ограничено. Следовательно,

\sqrt{x^2+1}-|x|=O\left(\dfrac1{|x|}\right)=O\left(\dfrac1x\right).

Верно.

Из предыдущего пункта

\sqrt{x^2+1}-|x|\sim \dfrac1{2|x|}

. Тогда

\dfrac{\left|\dfrac1x\right|}{\left|\sqrt{x^2+1}-|x|\right|}\sim\dfrac{\dfrac1{|x|}}{\dfrac1{2|x|}}=

Отношение ограничено. Верно.