Раздел II. Предел и непрерывность функции — § 9. Предел функции

Кудрявцев — задача 9.52

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 9.52

Найти g(x)=Axng(x)=Ax^n такую, что f(x)∼g(x)f(x)\sim g(x):

1) f(x)=x2arctg⁡xx5+x2+1f(x)=\dfrac{x^2 \operatorname{arctg} x}{x^5+x^2+1};
а) x→0x\to 0;
б) x→+∞x\to +\infty;
2) f(x)=x2+1−xf(x)=\sqrt{x^2+1}-x;
а) x0=+∞x_0=+\infty;
б) x0=−∞x_0=-\infty;

3) f(x)=1+x23−1−x23f(x)=\sqrt[3]{1+x^2}-\sqrt[3]{1-x^2};
а) x0=0x_0=0;
б) x0=∞x_0=\infty;
4) f(x)=sin⁡(1/(x+1))x+x3f(x)=\dfrac{\sin(1/(x+1))}{\sqrt[3]{x+\sqrt{x}}};
а) x0=0x_0=0;
б) x0=+∞x_0=+\infty.
Ответ:1) а) g(x)=x3,1)\ \text{а) } g(x)=x^3,
б) g(x)=π2x−3;\text{б) } g(x)=\dfrac{\pi}{2}x^{-3};
2) а) g(x)=12x−1,2)\ \text{а) } g(x)=\dfrac12 x^{-1},
б) g(x)=−2x;\text{б) } g(x)=-2x;
3) а) g(x)=23x2,3)\ \text{а) } g(x)=\dfrac23 x^2,
б) g(x)=2x2/3;\text{б) } g(x)= 2x^{2/3};
4) а) g(x)=sin⁡1⋅x−1/6,4)\ \text{а) } g(x)=\sin1\cdot x^{-1/6},
б) g(x)=x−4/3\text{б) } g(x)=x^{-4/3}

Решение

а) При x→0x\to 0: arctg⁡x∼x\operatorname{arctg} x \sim x. Тогда числитель x2arctg⁡x∼x3x^2 \operatorname{arctg} x \sim x^3. Знаменатель x5+x2+1→1x^5+x^2+1\to 1. Следовательно, f(x)∼x3f(x)\sim x^3.

Пункт б)

При x→+∞x\to +\infty: arctg⁡x→π2\operatorname{arctg} x \to \dfrac{\pi}{2}. Числитель x2arctg⁡x∼π2x2x^2 \operatorname{arctg} x \sim \dfrac{\pi}{2}x^2. Знаменатель x5+x2+1∼x5x^5+x^2+1 \sim x^5. Получаем f(x)∼π2x−3f(x)\sim \dfrac{\pi}{2}x^{-3}.

а) При x→+∞x\to+\infty:x2+1−x=1x2+1+x∼12x.\sqrt{x^2+1}-x
=
\dfrac1{\sqrt{x^2+1}+x}
\sim
\dfrac1{2x}.

Пункт б)

При x→−∞x\to-\infty:x2+1=−x1+1x2,\sqrt{x^2+1}
=
-x\sqrt{1+\dfrac1{x^2}},поэтомуx2+1−x=−x(1+1x2+1)∼−2x.\sqrt{x^2+1}-x
=
-x\left(\sqrt{1+\dfrac1{x^2}}+1\right)
\sim
-2x.а) При x→0x\to0:(1+x2)1/3=1+13x2+o(x2),(1−x2)1/3=1−13x2+o(x2).(1+x^2)^{1/3}=1+\dfrac13 x^2+o(x^2),\quad
(1-x^2)^{1/3}=1-\dfrac13 x^2+o(x^2).Тогда f(x)=23x2+o(x2)∼23x2f(x)=\dfrac23 x^2+o(x^2)\sim\dfrac23 x^2.

Пункт б)

При x→+∞x\to+\infty:1+x23∼x2/3,1−x23=−x2−13∼−x2/3.\sqrt[3]{1+x^2}\sim x^{2/3},\qquad
\sqrt[3]{1-x^2}
=
-\sqrt[3]{x^2-1}
\sim
-x^{2/3}.Следовательно, f(x)∼2x2/3f(x)\sim 2x^{2/3}.

а) При x→+0x\to+0: x+x=x(1+x)∼x=x1/2x+\sqrt{x} = \sqrt{x}(1+\sqrt{x})\sim \sqrt{x}=x^{1/2}. Тогда знаменатель x+x3∼x1/6\sqrt[3]{x+\sqrt{x}}\sim x^{1/6}. Числитель sin⁡1x+1→sin⁡1\sin\dfrac1{x+1}\to\sin1. Следовательно,

Проверка

f(x)∼sin⁡1⋅x−1/6f(x)\sim\sin1\cdot x^{-1/6}.
б) При x→+∞x\to+\infty: x+x∼xx+\sqrt{x}\sim x. Тогда знаменатель ∼x1/3\sim x^{1/3}. Числитель sin⁡1x+1∼1x\sin\dfrac1{x+1}\sim\dfrac1x. Следовательно, f(x)∼x−4/3f(x)\sim x^{-4/3}.
Кудрявцев № 9.52 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика