Раздел II. Предел и непрерывность функции — § 9. Предел функции

Кудрявцев — задача 9.51

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 9.51

Доказать:

1) o(xn)+o(xk)=o(xk), x→0, n,k∈N, n≥ko(x^n)+o(x^k)=o(x^k),\ x\to0,\ n,k\in\mathbb N,\ n\ge k;
2) o(xn)⋅o(xk)=o(xn+k),  x→0, n,k∈N, n≥ko(x^n)\cdot o(x^k)=o(x^{n+k}),\ \ x
\to0,\ n,k\in\mathbb N,\ n\ge k.

Доказательство

Пусть α=o(xn)\alpha=o(x^n), β=o(xk)\beta=o(x^k). Тогдаαxn→0,βxk→0.\dfrac{\alpha}{x^n}\to0,\qquad
\dfrac{\beta}{x^k}\to0.Рассмотримα+βxk=αxk+βxk.\dfrac{\alpha+\beta}{x^k}
=
\dfrac{\alpha}{x^k}+\dfrac{\beta}{x^k}.Первое слагаемое:αxk=αxn⋅xn−k.\dfrac{\alpha}{x^k}
=
\dfrac{\alpha}{x^n}\cdot x^{n-k}.Так как n≥kn\ge k, при x→0x\to0 множитель xn−kx^{n-k} либо стремится к 00 (если n>kn>k), либо равен 11 (если n=kn=k). В обоих случаях αxn⋅xn−k→0\dfrac{\alpha}{x^n}\cdot x^{n-k}\to0. Второе слагаемое βxk→0\dfrac{\beta}{x^k}\to0. Следовательно, α+βxk→0\dfrac{\alpha+\beta}{x^k}\to0, то есть α+β=o(xk)\alpha+\beta=o(x^k).

Проверка

2. Пусть α=o(xn)\alpha=o(x^n), β=o(xk)\beta=o(x^k). Тогда αxn→0\dfrac{\alpha}{x^n}\to0, βxk→0\dfrac{\beta}{x^k}\to0. Рассмотримαβxn+k=αxn⋅βxk→0⋅0=0.\dfrac{\alpha\beta}{x^{n+k}}
=
\dfrac{\alpha}{x^n}\cdot\dfrac{\beta}{x^k}
\to
0\cdot0=0.Следовательно, αβ=o(xn+k)\alpha\beta=o(x^{n+k}).

Что и требовалось доказать

Кудрявцев № 9.51 — решение | Высшая математика — Профиматика