Раздел II. Предел и непрерывность функции — § 9. Предел функции

Кудрявцев — задача 9.50

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 9.50

Проверить утверждения:

1) x2=o(x)x^2=o(x) при
а) x→0x\to0;
б) x→∞x\to\infty;
2) x=o(x2)x=o(x^2) при
а) x→0x\to0;
б) x→∞x\to\infty;

3) x2+x−x=o(1)\sqrt{x^2+x}-x=o(1) при
а) x→+∞x\to+\infty;
б) x→−∞x\to-\infty;

4) ln⁡(1+ex)=o(1)\ln(1+e^x)=o(1) при
а) x→+∞x\to+\infty;
б) x→−∞x\to-\infty.
Ответ:1) а) верно, б) неверно;1)\ \text{а) верно},\ \text{б) неверно};
2) а) неверно, б) верно;2)\ \text{а) неверно},\ \text{б) верно};
3) а) неверно, б) неверно;3)\ \text{а) неверно},\ \text{б) неверно};
4) а) неверно, б) верно4)\ \text{а) неверно},\ \text{б) верно}

Решение

а) При x→0x\to0: x2x=x→0\dfrac{x^2}{x}=x\to0, значит x2=o(x)x^2=o(x). Верно.

Пункт б)

При x→∞x\to\infty: x2x=x→∞\dfrac{x^2}{x}=x\to\infty, поэтому x2≠o(x)x^2\neq o(x). Неверно.

а) При x→0x\to0: xx2=1x→∞\dfrac{x}{x^2}=\dfrac1x\to\infty, значит x≠o(x2)x\neq o(x^2). Неверно.

Пункт б)

При x→∞x\to\infty: xx2=1x→0\dfrac{x}{x^2}=\dfrac1x\to0, значит x=o(x2)x=o(x^2). Верно.

а) При x→+∞x\to+\infty:x2+x−x=xx2+x+x=11+1x+1→12.\sqrt{x^2+x}-x
=
\dfrac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}
=
\dfrac1{\sqrt{1+\dfrac1x}+1}
\to
\dfrac12.Предел не равен нулю, поэтому x2+x−x≠o(1)\sqrt{x^2+x}-x\neq o(1). Неверно.

Пункт б)

При x→−∞x\to-\infty:x2+x−x=−x1+1x−x=−x(1+1x+1)→+∞.\sqrt{x^2+x}-x
=
-x\sqrt{1+\dfrac1x}-x
=
-x\left(\sqrt{1+\dfrac1x}+1\right)
\to+\infty.Предел не равен нулю, поэтому x2+x−x≠o(1)\sqrt{x^2+x}-x\neq o(1). Неверно.

Проверка

4. а) При x→+∞x\to+\infty:ln⁡(1+ex)=x+ln⁡(1+e−x)∼x,\ln(1+e^x)
=
x+\ln(1+e^{-x})
\sim x,поэтому ln⁡(1+ex)→+∞\ln(1+e^x)\to+\infty, значит ln⁡(1+ex)≠o(1)\ln(1+e^x)\neq o(1). Неверно.
б) При x→−∞x\to-\infty: ex→0e^x\to0, поэтому ln⁡(1+ex)∼ex→0\ln(1+e^x)\sim e^x\to0. Следовательно, ln⁡(1+ex)=o(1)\ln(1+e^x)=o(1). Верно.
Кудрявцев № 9.50 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика