Раздел II. Предел и непрерывность функции — § 9. Предел функции

Кудрявцев — задача 9.5

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 9.5

При каких δ\delta из ∣x∣>δ|x|>\delta следует 11+x2<ε\dfrac{1}{1+x^2}<\varepsilon?
Ответ:при ε>1: δ любое; при ε≤1: δ≥1−εε\text{при}\ \varepsilon>1:\ \delta\ \text{любое};\ \text{при}\ \varepsilon\le1:\ \delta\ge\sqrt{\dfrac{1-\varepsilon}{\varepsilon}}

Решение

11+x2<ε⟺1+x2>1ε⟺x2>1ε−1.\dfrac{1}{1+x^2}<\varepsilon \Longleftrightarrow 1+x^2>\dfrac{1}{\varepsilon} \Longleftrightarrow x^2>\dfrac{1}{\varepsilon}-1.Если ε>1\varepsilon>1, то 1ε−1<0\dfrac{1}{\varepsilon}-1<0, и неравенство выполнено при всех xx. Тогда δ\delta — любое положительное. Если ε≤1\varepsilon\le1, то ∣x∣>1−εε|x|>\sqrt{\dfrac{1-\varepsilon}{\varepsilon}}. Следовательно, δ≥1−εε\delta\ge\sqrt{\dfrac{1-\varepsilon}{\varepsilon}}.