Раздел II. Предел и непрерывность функции — § 9. Предел функции

Кудрявцев — задача 9.48

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 9.48

Показать, что f(x)f(x) бесконечно малая при x→0x\to0, и найти g(x)=Axng(x)=Ax^n, такую что f(x)∼g(x)f(x)\sim g(x):

1) f(x)=3sin⁡2x2−5x5f(x)=3\sin^2 x^2-5x^5;
2) f(x)=4−x4+x2−2f(x)=\sqrt{4-x^4}+x^2-2;
3) f(x)=1−x4−cos⁡x2f(x)=1-x^4-\cos x^2;

4) f(x)=2sin⁡x−tg⁡2xf(x)=2\sin x-\operatorname{tg}2x;
5) f(x)=sin⁡(x2+9−3)f(x)=\sin(\sqrt{x^2+9}-3);
6) f(x)=2x−1f(x)=2^x-1.
Доказано:1) g(x)=3x4;1)\ g(x)=3x^4;
2) g(x)=x2;2)\ g(x)=x^2;
3) g(x)=−x42;3)\ g(x)=-\dfrac{x^4}{2};
4) g(x)=−3x3;4)\ g(x)=-3x^3;
5) g(x)=x26;5)\ g(x)=\dfrac{x^2}{6};
6) g(x)=(ln⁡2)x6)\ g(x)=(\ln2)x

Доказательство

При x→0x\to0:sin⁡x2∼x2,\sin x^2\sim x^2,поэтому3sin⁡2x2∼3x4.3\sin^2 x^2\sim 3x^4.Второе слагаемое 5x55x^5 имеет более высокий порядок малости, чем x4x^4. Следовательно,f(x)=3x4+o(x4),f(x)=3x^4+o(x^4),и f(x)∼3x4f(x)\sim3x^4.
Разложим 4−x4\sqrt{4-x^4}:4−x4=21−x44=2(1−x48+o(x4))=2−x44+o(x4).\sqrt{4-x^4}
=
2\sqrt{1-\dfrac{x^4}{4}}
=
2\left(1-\dfrac{x^4}{8}+o(x^4)\right)
=
2-\dfrac{x^4}{4}+o(x^4).Тогдаf(x)=2−x44+o(x4)+x2−2=x2−x44+o(x4).f(x)=2-\dfrac{x^4}{4}+o(x^4)+x^2-2
=
x^2-\dfrac{x^4}{4}+o(x^4).Главный член x2x^2, поэтому f(x)∼x2f(x)\sim x^2.
Разложим cos⁡x2\cos x^2:cos⁡x2=1−x42+o(x4).\cos x^2=1-\dfrac{x^4}{2}+o(x^4).Тогдаf(x)=1−x4−(1−x42+o(x4))=−x42+o(x4).f(x)=1-x^4-\left(1-\dfrac{x^4}{2}+o(x^4)\right)
=
-\dfrac{x^4}{2}+o(x^4).Следовательно, f(x)∼−x42f(x)\sim -\dfrac{x^4}{2}.

Разложения:sin⁡x=x−x36+o(x3),\sin x=x-\dfrac{x^3}{6}+o(x^3),tg⁡2x=2x+(2x)33+o(x3)=2x+8x33+o(x3).\operatorname{tg}2x=2x+\dfrac{(2x)^3}{3}+o(x^3)
=
2x+\dfrac{8x^3}{3}+o(x^3).Тогдаf(x)=2(x−x36)−(2x+8x33)+o(x3)=2x−x33−2x−8x33+o(x3)=−3x3+o(x3).f(x)=2\left(x-\dfrac{x^3}{6}\right)-\left(2x+\dfrac{8x^3}{3}\right)+o(x^3)
=
2x-\dfrac{x^3}{3}-2x-\dfrac{8x^3}{3}+o(x^3)
=
-3x^3+o(x^3).Следовательно, f(x)∼−3x3f(x)\sim -3x^3.
Преобразуем аргумент синуса:x2+9=31+x29=3(1+x218+o(x2))=3+x26+o(x2).\sqrt{x^2+9}
=
3\sqrt{1+\dfrac{x^2}{9}}
=
3\left(1+\dfrac{x^2}{18}+o(x^2)\right)
=
3+\dfrac{x^2}{6}+o(x^2).Тогдаx2+9−3=x26+o(x2).\sqrt{x^2+9}-3
=
\dfrac{x^2}{6}+o(x^2).Так как sin⁡t∼t\sin t\sim t при t→0t\to0, получаемf(x)=sin⁡(x26+o(x2))∼x26.f(x)=\sin\left(\dfrac{x^2}{6}+o(x^2)\right)
\sim
\dfrac{x^2}{6}.

Проверка

6. Используем стандартный предел:lim⁡x→02x−1x=ln⁡2.\lim_{x\to0}\dfrac{2^x-1}{x}=\ln2.Следовательно,2x−1∼xln⁡2.2^x-1\sim x\ln2.

Что и требовалось доказать