Раздел II. Предел и непрерывность функции — § 9. Предел функции

Кудрявцев — задача 9.45

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 9.45

Выяснить, является ли функция бесконечно большой:

1) f(x)=1x3−4x2+4x−1x2−3x+2, x→2f(x)=\dfrac1{x^3-4x^2+4x}-\dfrac1{x^2-3x+2},\ x\to2;
2) f(x)=x(x2+1−x)f(x)=x(\sqrt{x^2+1}-x);
а) x→+∞x\to+\infty;
б) x→−∞x\to-\infty;

3) f(x)=cos⁡x(1−sin⁡x)23, x→π2f(x)=\dfrac{\cos x}{\sqrt[3]{(1-\sin x)^2}},\ x\to\dfrac\pi2;
4) f(x)=ch⁡x−sh⁡xf(x)=\operatorname{ch}x-\operatorname{sh}x;
а) x→+∞x\to+\infty;
б) x→−∞x\to-\infty;

5) f(x)=(x+12x−1)xf(x)=\left(\dfrac{x+1}{2x-1}\right)^x;
а) x→+∞x\to+\infty;
б) x→−∞x\to-\infty;
6) f(x)=(1−x)1/x2f(x)=(1-x)^{1/x^2};
а) x→+0x\to+0;

б) x→−0x\to-0.
Вывод1) да;1)\ \text{да};
2) а) нет, б) да;2)\ \text{а) нет},\ \text{б) да};
3) да;3)\ \text{да};
4) а) нет, б) да;4)\ \text{а) нет},\ \text{б) да};
5) а) нет, б) да;5)\ \text{а) нет},\ \text{б) да};
6) а) нет, б) да6)\ \text{а) нет},\ \text{б) да}

Решение

Разложим знаменатели:x3−4x2+4x=x(x−2)2,x2−3x+2=(x−2)(x−1).x^3-4x^2+4x=x(x-2)^2,\qquad
x^2-3x+2=(x-2)(x-1).Приведём к общему знаменателю:f(x)=1x(x−2)2−1(x−2)(x−1)=(x−1)−x(x−2)x(x−2)2(x−1)=−x2+3x−1x(x−2)2(x−1).f(x)
=
\dfrac1{x(x-2)^2}-\dfrac1{(x-2)(x-1)}
=
\dfrac{(x-1)-x(x-2)}
{x(x-2)^2(x-1)}
=
\dfrac{-x^2+3x-1}
{x(x-2)^2(x-1)}.При x→2x\to2 числитель стремится к 11, а знаменатель эквивалентен 2(x−2)22(x-2)^2. Следовательно,f(x)∼12(x−2)2→+∞.f(x)\sim\dfrac1{2(x-2)^2}\to+\infty.Функция является бесконечно большой.

а) При x→+∞x\to+\infty:x2+1−x=1x2+1+x∼12x.\sqrt{x^2+1}-x
=
\dfrac1{\sqrt{x^2+1}+x}
\sim
\dfrac1{2x}.Тогдаf(x)=x⋅12x=12.f(x)=x\cdot\dfrac1{2x}=\dfrac12.Предел конечен, функция не является бесконечно большой.

Пункт б)

При x→−∞x\to-\infty, считаем x<0x<0. Тогдаx2+1−x=−x1+1x2−x=−x(1+1x2+1).\sqrt{x^2+1}-x
=
-x\sqrt{1+\dfrac1{x^2}}-x
=
-x\left(\sqrt{1+\dfrac1{x^2}}+1\right).Тогдаf(x)=x[−x(1+1x2+1)]=−x2(1+1x2+1)→−∞.f(x)
=
x\left[-x\left(\sqrt{1+\dfrac1{x^2}}+1\right)\right]
=
-x^2\left(\sqrt{1+\dfrac1{x^2}}+1\right)
\to-\infty.Функция является бесконечно большой.
Сделаем замену t=π2−xt=\dfrac\pi2-x, тогда t→0t\to0. Имеемsin⁡x=cos⁡t=1−t22+o(t2),\sin x=\cos t=1-\dfrac{t^2}{2}+o(t^2),1−sin⁡x=t22+o(t2),1-\sin x=\dfrac{t^2}{2}+o(t^2),cos⁡x=sin⁡t=t+o(t).\cos x=\sin t=t+o(t).Тогда(1−sin⁡x)23=(t22+o(t2))2/3=t4/322/3(1+o(1)).\sqrt[3]{(1-\sin x)^2}
=
\left(\dfrac{t^2}{2}+o(t^2)\right)^{2/3}
=
\dfrac{t^{4/3}}{2^{2/3}}(1+o(1)).Следовательно,f(x)=t+o(t)t4/322/3(1+o(1))=22/3t−1/3(1+o(1)).f(x)
=
\dfrac{t+o(t)}
{\dfrac{t^{4/3}}{2^{2/3}}(1+o(1))}
=
2^{2/3}t^{-1/3}(1+o(1)).При t→0t\to0 модуль t−1/3→∞t^{-1/3}\to\infty, поэтому ∣f(x)∣→∞|f(x)|\to\infty. Функция является бесконечно большой.

По определениюch⁡x=ex+e−x2,sh⁡x=ex−e−x2.\operatorname{ch}x=\dfrac{e^x+e^{-x}}2,\qquad
\operatorname{sh}x=\dfrac{e^x-e^{-x}}2.Тогдаch⁡x−sh⁡x=ex+e−x2−ex−e−x2=e−x.\operatorname{ch}x-\operatorname{sh}x
=
\dfrac{e^x+e^{-x}}2-\dfrac{e^x-e^{-x}}2
=
e^{-x}.

Пункт а)

При x→+∞x\to+\infty: e−x→0e^{-x}\to0, функция не является бесконечно большой.

Пункт б)

При x→−∞x\to-\infty: e−x→+∞e^{-x}\to+\infty, функция является бесконечно большой.

а) При x→+∞x\to+\infty основание x+12x−1→12\dfrac{x+1}{2x-1}\to\dfrac12, положительно и меньше 11, поэтому выражение стремится к 00. Функция не является бесконечно большой.

Пункт б)

При x→−∞x\to-\infty сделаем замену t=−xt=-x, t→+∞t\to+\infty. Тогдаx+12x−1=−t+1−2t−1=t−12t+1.\dfrac{x+1}{2x-1}
=
\dfrac{-t+1}{-2t-1}
=
\dfrac{t-1}{2t+1}.Выражение принимает вид(t−12t+1)−t=(2t+1t−1)t.\left(\dfrac{t-1}{2t+1}\right)^{-t}
=
\left(\dfrac{2t+1}{t-1}\right)^t.При больших tt основание больше 22, поэтому выражение стремится к +∞+\infty. Функция является бесконечно большой.

а) При x→+0x\to+0:ln⁡f(x)=ln⁡(1−x)x2∼−xx2=−1x→−∞.\ln f(x)=\dfrac{\ln(1-x)}{x^2}\sim\dfrac{-x}{x^2}=-\dfrac1x\to-\infty.Следовательно, f(x)→0f(x)\to0. Функция не является бесконечно большой.

Проверка

б) При x→−0x\to-0 положим t=−xt=-x, тогда t→+0t\to+0. Имеем1−x=1+t,1-x=1+t,ln⁡f(x)=ln⁡(1+t)t2∼tt2=1t→+∞.\ln f(x)=\dfrac{\ln(1+t)}{t^2}\sim\dfrac{t}{t^2}=\dfrac1t\to+\infty.Следовательно, f(x)→+∞f(x)\to+\infty. Функция является бесконечно большой.
Кудрявцев № 9.45 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика