Раздел II. Предел и непрерывность функции — § 9. Предел функции

Кудрявцев — задача 9.41

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 9.41

Найти f(x0−0)f(x_0-0) и f(x0+0)f(x_0+0):

1) f(x)=1x−[x], x0=−1f(x)=\dfrac1{x-[x]},\ x_0=-1;
2) f(x)=x+[x2], x0=10f(x)=x+[x^2],\ x_0=10;
3) f(x)=lim⁡n→∞xn1+xn,  x0=1f(x)=\lim_{n\to\infty}\dfrac{x^n}{1+x^n},\ \ x_0=1;
4) f(x)=lim⁡n→∞2xn−3xn−1, x0=1f(x)=\lim_{n\to\infty}\dfrac{2x^n-3}{x^n-1},\ x_0=1.
Ответ:1) f(−1−0)=1, f(−1+0)=+∞;1)\ f(-1-0)=1,\ f(-1+0)=+\infty;
2) f(10−0)=109, f(10+0)=110;2)\ f(10-0)=109,\ f(10+0)=110;
3) f(1−0)=0, f(1+0)=1;3)\ f(1-0)=0,\ f(1+0)=1;
4) f(1−0)=3, f(1+0)=24)\ f(1-0)=3,\ f(1+0)=2

Решение

При x→−1−x\to-1-, то есть x<−1x<-1 и близко к −1-1, имеем [x]=−2[x]=-2.

Тогда x−[x]=x−(−2)=x+2x-[x]=x-(-2)=x+2. Следовательно,f(x)=1x+2→1−1+2=1.f(x)=\dfrac1{x+2}\to\dfrac1{-1+2}=1.При x→−1+x\to-1+, то есть x>−1x>-1 и близко к −1-1, имеем [x]=−1[x]=-1.

Тогда x−[x]=x−(−1)=x+1x-[x]=x-(-1)=x+1. При x→−1+x\to-1+:x+1→0+,x+1\to0+,поэтомуf(x)=1x+1→+∞.f(x)=\dfrac1{x+1}\to+\infty.При x→10−x\to10- и близких к 1010:x2<100,x^2<100,но x2>99x^2>99, значит, [x2]=99[x^2]=99. Тогдаf(x)=x+99→10+99=109.f(x)=x+99\to10+99=109.При x→10+x\to10+:x2>100,x^2>100,но x2<101x^2<101, значит, [x2]=100[x^2]=100. Тогдаf(x)=x+100→10+100=110.f(x)=x+100\to10+100=110.Для 0<x<10<x<1:xn→0,x^n\to0,поэтомуf(x)=01+0=0.f(x)=\dfrac0{1+0}=0.Следовательно, f(1−0)=0f(1-0)=0.

Для x>1x>1:xn1+xn=11+x−n→1.\dfrac{x^n}{1+x^n}
=
\dfrac1{1+x^{-n}}
\to1.Следовательно, f(1+0)=1f(1+0)=1.

Для 0<x<10<x<1:xn→0,x^n\to0,поэтомуf(x)=2⋅0−30−1=3.f(x)=\dfrac{2\cdot0-3}{0-1}=3.Следовательно, f(1−0)=3f(1-0)=3.

Проверка

Для x>1x>1:2xn−3xn−1=2−3xn1−1xn→21=2.\dfrac{2x^n-3}{x^n-1}
=
\dfrac{2-\dfrac3{x^n}}{1-\dfrac1{x^n}}
\to
\dfrac{2}{1}=2.Следовательно, f(1+0)=2f(1+0)=2.
Кудрявцев № 9.41 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика