Раздел II. Предел и непрерывность функции — § 9. Предел функции

Кудрявцев — задача 9.40

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 9.40

Найти f(x0−0)f(x_0-0) и f(x0+0)f(x_0+0):

1) f(x)=2(1−x2)+∣1−x2∣3(1−x2)−∣1−x2∣, x0=1f(x)=\dfrac{2(1-x^2)+|1-x^2|}{3(1-x^2)-|1-x^2|},\ x_0=1;
2) f(x)=sign⁡cos⁡x, x0=π2f(x)=\operatorname{sign}\cos x,\ x_0=\dfrac\pi2;

3) f(x)=arctg⁡tg⁡x, x0=π2f(x)=\operatorname{arctg}\operatorname{tg}x,\ x_0=\dfrac\pi2;
4) f(x)=1x+31/(3−x), x0=3f(x)=\dfrac1{x+3^{1/(3-x)}},\ x_0=3.
Ответ:1) f(1−0)=32, f(1+0)=14;1)\ f(1-0)=\dfrac32,\ f(1+0)=\dfrac14;
2) f(π2−0)=1, f(π2+0)=−1;2)\ f\left(\dfrac\pi2-0\right)=1,\ f\left(\dfrac\pi2+0\right)=-1;
3) f(π2−0)=π2, f(π2+0)=−π2;3)\ f\left(\dfrac\pi2-0\right)=\dfrac\pi2,\ f\left(\dfrac\pi2+0\right)=-\dfrac\pi2;
4) f(3−0)=0, f(3+0)=134)\ f(3-0)=0,\ f(3+0)=\dfrac13

Решение

Обозначим y=1−x2y=1-x^2. При x→1−x\to1- имеем x<1x<1, x2<1x^2<1, значит y>0y>0. Тогда ∣y∣=y|y|=y, иf(x)=2y+y3y−y=3y2y=32.f(x)=\dfrac{2y+y}{3y-y}=\dfrac{3y}{2y}=\dfrac32.Следовательно, f(1−0)=32f(1-0)=\dfrac32.
При x→1+x\to1+ имеем x>1x>1, x2>1x^2>1, значит y<0y<0. Тогда ∣y∣=−y|y|=-y, иf(x)=2y−y3y+y=y4y=14.f(x)=\dfrac{2y-y}{3y+y}=\dfrac{y}{4y}=\dfrac14.Следовательно, f(1+0)=14f(1+0)=\dfrac14.

При x<π2x<\dfrac\pi2 и близких к π2\dfrac\pi2 косинус положителен, поэтому sign⁡cos⁡x=1\operatorname{sign}\cos x=1. Следовательно, f(π/2−0)=1f(\pi/2-0)=1.
При x>π2x>\dfrac\pi2 и близких к π2\dfrac\pi2 косинус отрицателен, поэтому sign⁡cos⁡x=−1\operatorname{sign}\cos x=-1. Следовательно, f(π/2+0)=−1f(\pi/2+0)=-1.

При x→π2−x\to\dfrac\pi2- тангенс стремится к +∞+\infty, поэтому arctg⁡tg⁡x→π2\operatorname{arctg}\operatorname{tg}x\to\dfrac\pi2.
При x→π2+x\to\dfrac\pi2+ тангенс стремится к −∞-\infty, поэтому arctg⁡tg⁡x→−π2\operatorname{arctg}\operatorname{tg}x\to-\dfrac\pi2.

Проверка

4. При x→3−x\to3- имеем 3−x→0+3-x\to0+, поэтому 13−x→+∞\dfrac1{3-x}\to+\infty, 31/(3−x)→+∞3^{1/(3-x)}\to+\infty, знаменатель x+31/(3−x)→+∞x+3^{1/(3-x)}\to+\infty, следовательно, f(x)→0f(x)\to0.
При x→3+x\to3+ имеем 3−x→0−3-x\to0-, поэтому 13−x→−∞\dfrac1{3-x}\to-\infty, 31/(3−x)→03^{1/(3-x)}\to0, знаменатель x+31/(3−x)→3x+3^{1/(3-x)}\to3, следовательно, f(x)→13f(x)\to\dfrac13.