Раздел II. Предел и непрерывность функции — § 9. Предел функции

Кудрявцев — задача 9.4

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 9.4

Для каждого ε>0\varepsilon>0 найти δ>0\delta>0, чтобы из 0<∣x−3∣<δ0<|x-3|<\delta следовало

∣x3−3x2x−3−9∣<ε\left|\dfrac{x^3-3x^2}{x-3}-9\right|<\varepsilon.
Ответ:δ=9+ε−3\delta=\sqrt{9+\varepsilon}-3

Решение

При x≠3x\ne3: x3−3x2x−3=x2\dfrac{x^3-3x^2}{x-3}=x^2. Тогда ∣x2−9∣<ε⟺9−ε<x2<9+ε|x^2-9|<\varepsilon \Longleftrightarrow 9-\varepsilon<x^2<9+\varepsilon. Для x>0x>0: 9−ε<x<9+ε\sqrt{9-\varepsilon}<x<\sqrt{9+\varepsilon}. Ближайшая к 3 граница — правая,

поэтому δ≤9+ε−3\delta\le\sqrt{9+\varepsilon}-3.