Раздел II. Предел и непрерывность функции — § 9. Предел функции

Кудрявцев — задача 9.39

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 9.39

Найти f(−0)f(-0) и f(+0)f(+0):

1) f(x)=x−∣x∣2xf(x)=\dfrac{x-|x|}{2x};
2) f(x)=arccos⁡(x−1)f(x)=\arccos(x-1);
3) f(x)=e−1/x2f(x)=e^{-1/x^2};
4) f(x)=2ctg⁡xf(x)=2^{\operatorname{ctg}x}.
Ответ:1) f(−0)=1, f(+0)=0;1)\ f(-0)=1,\ f(+0)=0;
2) f(−0) не существует, f(+0)=π;2)\ f(-0)\ \text{не существует},\ f(+0)=\pi;
3) f(−0)=0, f(+0)=0;3)\ f(-0)=0,\ f(+0)=0;
4) f(−0)=0, f(+0)=+∞4)\ f(-0)=0,\ f(+0)=+\infty

Решение

Если x<0x<0, то ∣x∣=−x|x|=-x, поэтомуf(x)=x−(−x)2x=2x2x=1.f(x)=\dfrac{x-(-x)}{2x}=\dfrac{2x}{2x}=1.Следовательно, f(−0)=1f(-0)=1.
Если x>0x>0, то ∣x∣=x|x|=x, поэтомуf(x)=x−x2x=0.f(x)=\dfrac{x-x}{2x}=0.Следовательно, f(+0)=0f(+0)=0.

Область определения arccos⁡(x−1)\arccos(x-1): −1≤x−1≤1-1\le x-1\le1, то есть 0≤x≤20\le x\le2. При x<0x<0 функция не определена, поэтому f(−0)f(-0) не существует. При x→0+x\to0+ имеем x−1→−1x-1\to-1, значит,f(+0)=arccos⁡(−1)=π.f(+0)=\arccos(-1)=\pi.При x→0x\to0 как слева, так и справа 1x2→+∞\dfrac1{x^2}\to+\infty, поэтому−1x2→−∞,-\dfrac1{x^2}\to-\infty,и e−1/x2→0e^{-1/x^2}\to0.

При x→0−x\to0- имеем ctg⁡x=cos⁡xsin⁡x→−∞\operatorname{ctg}x=\dfrac{\cos x}{\sin x}\to-\infty, поэтому2ctg⁡x→0.2^{\operatorname{ctg}x}\to0.При x→0+x\to0+ имеем ctg⁡x→+∞\operatorname{ctg}x\to+\infty, поэтому2ctg⁡x→+∞.2^{\operatorname{ctg}x}\to+\infty.