Раздел II. Предел и непрерывность функции — § 9. Предел функции

Кудрявцев — задача 9.38

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 9.38

Найти пределы:

1) lim⁡x→aax−xax−a, a>0\lim_{x\to a}\dfrac{a^x-x^a}{x-a},\ a>0;
2) lim⁡x→0(ax−bx)2ax2−bx2, a>0, b>0, a≠b\lim_{x\to0}\dfrac{(a^x-b^x)^2}{a^{x^2}-b^{x^2}},\ a>0,\ b>0,\ a\neq b;

3) lim⁡x→0(ax+bx2)1/x, a>0, b>0\lim_{x\to0}\left(\dfrac{a^x+b^x}{2}\right)^{1/x},\ a>0,\ b>0;
4) lim⁡x→0(ax+1+bx+1a+b)1/x, a>0, b>0\lim_{x\to0}\left(\dfrac{a^{x+1}+b^{x+1}}{a+b}\right)^{1/x},\ a>0,\ b>0.
Ответ:1) aa(ln⁡a−1);1)\ a^a(\ln a-1);
2) ln⁡a−ln⁡b;2)\ \ln a-\ln b;
3) ab;3)\ \sqrt{ab};
4) exp⁡(aln⁡a+bln⁡ba+b)4)\ \exp\left(\dfrac{a\ln a+b\ln b}{a+b}\right)

Решение

Представим дробь как разность:ax−xax−a=ax−aax−a−xa−aax−a.\dfrac{a^x-x^a}{x-a}
=
\dfrac{a^x-a^a}{x-a}
-
\dfrac{x^a-a^a}{x-a}.Первое слагаемое. Пусть t=x−at=x-a, тогда t→0t\to0, иax−aax−a=aaat−1t→aaln⁡a.\dfrac{a^x-a^a}{x-a}
=
a^a\dfrac{a^t-1}{t}
\to a^a\ln a.Второе слагаемое. Запишем x=a+t=a(1+t/a)x=a+t=a(1+t/a). Обозначим h=t/ah=t/a, тогда h→0h\to0, t=aht=ah, иxa−aax−a=aa(1+h)a−aaah=aa−1(1+h)a−1h.\dfrac{x^a-a^a}{x-a}
=
\dfrac{a^a(1+h)^a-a^a}{ah}
=
a^{a-1}\dfrac{(1+h)^a-1}{h}.Для любого действительного aa верно:(1+h)a−1h→a.\dfrac{(1+h)^a-1}{h}\to a.Это следует из определения производной степенной функции в точке 11 или из эквивалентности (1+h)a−1∼ah(1+h)^a-1\sim ah. Применяем это, получаем второе слагаемое стремится к aa−1⋅a=aaa^{a-1}\cdot a=a^a.
Итак,lim⁡x→aax−xax−a=aaln⁡a−aa=aa(ln⁡a−1).\lim_{x\to a}\dfrac{a^x-x^a}{x-a}
=
a^a\ln a-a^a
=
a^a(\ln a-1).Разделим числитель и знаменатель на x2x^2:(ax−bx)2ax2−bx2=(ax−bxx)2ax2−bx2x2.\begin{aligned}
\dfrac{(a^x-b^x)^2}{a^{x^2}-b^{x^2}}
&=
\dfrac{\left(\dfrac{a^x-b^x}{x}\right)^2}
{\dfrac{a^{x^2}-b^{x^2}}{x^2}}.
\end{aligned}Вычислимax−bxx=ax−1x−bx−1x→ln⁡a−ln⁡b.\dfrac{a^x-b^x}{x}
=
\dfrac{a^x-1}{x}
-
\dfrac{b^x-1}{x}
\to
\ln a-\ln b.Следовательно, квадрат этого выражения стремится к (ln⁡a−ln⁡b)2(\ln a-\ln b)^2.

В знаменателе обозначим y=x2y=x^2. Тогда y→0y\to0, иax2−bx2x2=ay−byy→ln⁡a−ln⁡b.\dfrac{a^{x^2}-b^{x^2}}{x^2}
=
\dfrac{a^y-b^y}{y}
\to
\ln a-\ln b.Так как a≠ba\neq b, ln⁡a−ln⁡b≠0\ln a-\ln b\neq0. Поэтому предел равен(ln⁡a−ln⁡b)2ln⁡a−ln⁡b=ln⁡a−ln⁡b.\dfrac{(\ln a-\ln b)^2}{\ln a-\ln b}
=
\ln a-\ln b.Логарифм:ln⁡L=lim⁡x→01xln⁡ax+bx2.\ln L = \lim_{x\to0}\dfrac1x\ln\dfrac{a^x+b^x}{2}.Разложим axa^x и bxb^x:ax=1+xln⁡a+o(x),bx=1+xln⁡b+o(x).a^x = 1+x\ln a+o(x),\qquad
b^x = 1+x\ln b+o(x).Тогдаax+bx2=1+x2(ln⁡a+ln⁡b)+o(x).\dfrac{a^x+b^x}{2}
=
1+\dfrac{x}{2}(\ln a+\ln b)+o(x).Обозначим u=x2(ln⁡a+ln⁡b)+o(x)u=\dfrac{x}{2}(\ln a+\ln b)+o(x). Тогда u→0u\to0, иln⁡ax+bx2=ln⁡(1+u)∼u∼x2(ln⁡a+ln⁡b).\ln\dfrac{a^x+b^x}{2}
=
\ln(1+u)\sim u
\sim \dfrac{x}{2}(\ln a+\ln b).Следовательно,1xln⁡ax+bx2→ln⁡a+ln⁡b2.\dfrac1x\ln\dfrac{a^x+b^x}{2}
\to
\dfrac{\ln a+\ln b}{2}.ОтсюдаL=e(ln⁡a+ln⁡b)/2=ab.L=e^{(\ln a+\ln b)/2}
=
\sqrt{ab}.

Проверка

4. Преобразуем основание:ax+1+bx+1a+b=aax+bbxa+b=1+a(ax−1)+b(bx−1)a+b.\dfrac{a^{x+1}+b^{x+1}}{a+b}
=
\dfrac{a a^x+b b^x}{a+b}
=
1+\dfrac{a(a^x-1)+b(b^x-1)}{a+b}.Обозначим u=a(ax−1)+b(bx−1)a+bu=\dfrac{a(a^x-1)+b(b^x-1)}{a+b}. Тогда u→0u\to0. Найдём ux\dfrac{u}{x}:ux=aax−1x+bbx−1xa+b→aln⁡a+bln⁡ba+b.\dfrac{u}{x}
=
\dfrac{a\dfrac{a^x-1}{x}+b\dfrac{b^x-1}{x}}{a+b}
\to
\dfrac{a\ln a+b\ln b}{a+b}.Логарифм исходного выражения:ln⁡L=lim⁡x→0ln⁡(1+u)x=lim⁡x→0ln⁡(1+u)u⋅ux=1⋅aln⁡a+bln⁡ba+b.\ln L = \lim_{x\to0}\dfrac{\ln(1+u)}{x}
=
\lim_{x\to0}\dfrac{\ln(1+u)}{u}\cdot\dfrac{u}{x}
=
1\cdot\dfrac{a\ln a+b\ln b}{a+b}.Следовательно,L=exp⁡(aln⁡a+bln⁡ba+b).L = \exp\left(\dfrac{a\ln a+b\ln b}{a+b}\right).
Кудрявцев № 9.38 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика