Раздел II. Предел и непрерывность функции — § 9. Предел функции

Кудрявцев — задача 9.37

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 9.37

Найти пределы:

1) lim⁡x→0sh⁡xx\lim_{x\to0}\dfrac{\operatorname{sh}x}{x};
2) lim⁡x→0ch⁡2x−1cos⁡x−1\lim_{x\to0}\dfrac{\operatorname{ch}2x-1}{\cos x-1};
3) lim⁡x→0ln⁡ch⁡5xx2\lim_{x\to0}\dfrac{\ln \operatorname{ch}5x}{x^2};

4) lim⁡x→0esh⁡3x−esh⁡xtg⁡x\lim_{x\to0}\dfrac{e^{\operatorname{sh}3x}-e^{\operatorname{sh}x}}{\operatorname{tg}x};
5) lim⁡x→∞(x2−ln⁡ch⁡x2)\lim_{x\to\infty}(x^2-\ln \operatorname{ch}x^2);
6) lim⁡x→0(ch⁡2xch⁡x)1/x2\lim_{x\to0}\left(\dfrac{\operatorname{ch} 2x}{\operatorname{ch} x}\right)^{1/x^2};

7) lim⁡x→0(1+xarctg⁡xch⁡x)1/tg⁡2x\lim_{x\to0}\left(\dfrac{1+x \operatorname{arctg} x}{\operatorname{ch} x}\right)^{1/\operatorname{tg}^2 x};
8) lim⁡x→0(1+xln⁡(1+x)1−xarcsin⁡x)1/sin⁡2x\lim_{x\to0}\left(\dfrac{1+x \ln(1+x)}{1-x \arcsin x}\right)^{1/\sin^2 x}.
Ответ:1) 1;1)\ 1;
2) −4;2)\ -4;
3) 252;3)\ \dfrac{25}{2};
4) 2;4)\ 2;
5) ln⁡2;5)\ \ln2;
6) e3/2;6)\ e^{3/2};
7) e;7)\ \sqrt e;
8) e28)\ e^2

Решение

По определению sh⁡x=ex−e−x2\operatorname{sh}x=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}. Тогдаsh⁡xx=ex−e−x2x=12(ex−1x−e−x−1x).\dfrac{\operatorname{sh}x}{x}
=
\dfrac{e^x-e^{-x}}{2x}
=
\dfrac12\left(\dfrac{e^x-1}{x}-\dfrac{e^{-x}-1}{x}\right).Используем стандартные пределы:ex−1x→1,e−x−1x→−1.\dfrac{e^x-1}{x}\to1,\qquad
\dfrac{e^{-x}-1}{x}\to -1.Следовательно,12(1−(−1))=1.\dfrac12(1-(-1))=1.
Преобразуем числитель:ch⁡2x−1=e2x+e−2x−22=(ex−e−x)22=2sh⁡2x.\operatorname{ch}2x-1
=
\dfrac{e^{2x}+e^{-2x}-2}{2}
=
\dfrac{(e^x-e^{-x})^2}{2}
=
2\operatorname{sh}^2 x.Тогдаch⁡2x−1cos⁡x−1=2sh⁡2xcos⁡x−1.\dfrac{\operatorname{ch}2x-1}{\cos x-1}
=
\dfrac{2\operatorname{sh}^2 x}{\cos x-1}.Используем sh⁡x∼x\operatorname{sh}x\sim x, cos⁡x−1∼−x22\cos x-1\sim -\dfrac{x^2}{2}. Следовательно,2sh⁡2xcos⁡x−1∼2x2−x22=−4.\dfrac{2\operatorname{sh}^2 x}{\cos x-1}
\sim
\dfrac{2x^2}{-\frac{x^2}{2}}
=
-4.
Обозначим u=ch⁡5x−1u=\operatorname{ch}5x-1. Тогда u→0u\to0, ch⁡5x=1+u\operatorname{ch}5x=1+u. Получаемln⁡ch⁡5xx2=ln⁡(1+u)u⋅ch⁡5x−1x2.\dfrac{\ln \operatorname{ch}5x}{x^2}
=
\dfrac{\ln(1+u)}{u}\cdot\dfrac{\operatorname{ch}5x-1}{x^2}.Первый множитель стремится к 11. Далее,ch⁡5x−1=2sh⁡25x2∼2(5x2)2=252x2.\operatorname{ch}5x-1
=
2\operatorname{sh}^2\dfrac{5x}{2}
\sim
2\left(\dfrac{5x}{2}\right)^2
=
\dfrac{25}{2}x^2.Следовательно,ch⁡5x−1x2→252.\dfrac{\operatorname{ch}5x-1}{x^2}
\to
\dfrac{25}{2}.Итак, предел равен 252\dfrac{25}{2}.

Вынесем esh⁡xe^{\operatorname{sh}x}:esh⁡3x−esh⁡x=esh⁡x(esh⁡3x−sh⁡x−1).e^{\operatorname{sh}3x}-e^{\operatorname{sh}x}
=
e^{\operatorname{sh}x}\left(e^{\operatorname{sh}3x-\operatorname{sh}x}-1\right).Обозначим h=sh⁡3x−sh⁡xh=\operatorname{sh}3x-\operatorname{sh}x. Тогда h→0h\to0. Выражение:esh⁡x⋅eh−1h⋅htg⁡x.e^{\operatorname{sh}x}\cdot\dfrac{e^h-1}{h}\cdot\dfrac{h}{\operatorname{tg}x}.Найдём предел htg⁡x\dfrac{h}{\operatorname{tg}x}:hx=sh⁡3xx−sh⁡xx→3−1=2.\dfrac{h}{x}
=
\dfrac{\operatorname{sh}3x}{x}-\dfrac{\operatorname{sh}x}{x}
\to 3-1=2.Так как xtg⁡x→1\dfrac{x}{\operatorname{tg}x}\to1, получаемhtg⁡x→2.\dfrac{h}{\operatorname{tg}x}\to2.Следовательно, предел равен 1⋅1⋅2=21\cdot1\cdot2=2.
Обозначим t=x2t=x^2, тогда t→+∞t\to+\infty. Имеемch⁡t=et+e−t2.\operatorname{ch}t=\dfrac{e^t+e^{-t}}{2}.Следовательно,ln⁡ch⁡t=ln⁡et+e−t2=ln⁡[et(1+e−2t)]−ln⁡2=t+ln⁡(1+e−2t)−ln⁡2.\ln\operatorname{ch}t
=
\ln\dfrac{e^t+e^{-t}}{2}
=
\ln\left[e^t(1+e^{-2t})\right]-\ln2
=
t+\ln(1+e^{-2t})-\ln2.Тогдаt−ln⁡ch⁡t=t−[t+ln⁡(1+e−2t)−ln⁡2]=ln⁡2−ln⁡(1+e−2t).t-\ln\operatorname{ch}t
=
t-\left[t+\ln(1+e^{-2t})-\ln2\right]
=
\ln2-\ln(1+e^{-2t}).Так как e−2t→0e^{-2t}\to0, ln⁡(1+e−2t)→0\ln(1+e^{-2t})\to0, предел равен ln⁡2\ln2.

Логарифм:ln⁡L=lim⁡x→01x2ln⁡ch⁡2xch⁡x.\ln L = \lim_{x\to0}\dfrac1{x^2}\ln\dfrac{\operatorname{ch}2x}{\operatorname{ch}x}.Разложим числитель и знаменатель:ch⁡2x=1+(2x)22+o(x2)=1+2x2+o(x2),\operatorname{ch}2x = 1+\dfrac{(2x)^2}{2}+o(x^2)=1+2x^2+o(x^2),ch⁡x=1+x22+o(x2).\operatorname{ch}x = 1+\dfrac{x^2}{2}+o(x^2).Тогдаch⁡2xch⁡x=1+2x2+o(x2)1+x22+o(x2)=1+32x2+o(x2).\dfrac{\operatorname{ch}2x}{\operatorname{ch}x}
=
\dfrac{1+2x^2+o(x^2)}{1+\frac{x^2}{2}+o(x^2)}
=
1+\dfrac{3}{2}x^2+o(x^2).Следовательно,ln⁡ch⁡2xch⁡x=32x2+o(x2).\ln\dfrac{\operatorname{ch}2x}{\operatorname{ch}x}
=
\dfrac{3}{2}x^2+o(x^2).Отсюда1x2ln⁡ch⁡2xch⁡x→32.\dfrac1{x^2}\ln\dfrac{\operatorname{ch}2x}{\operatorname{ch}x}
\to\dfrac32.Итак, L=e3/2L=e^{3/2}.
Обозначимu=1+xarctg⁡xch⁡x−1=1+xarctg⁡x−ch⁡xch⁡x.u=\dfrac{1+x\operatorname{arctg}x}{\operatorname{ch}x}-1
=
\dfrac{1+x\operatorname{arctg}x-\operatorname{ch}x}{\operatorname{ch}x}.Найдём ux2\dfrac{u}{x^2}. Имеемxarctg⁡xx2=arctg⁡xx→1,\dfrac{x\operatorname{arctg}x}{x^2}
=
\dfrac{\operatorname{arctg}x}{x}\to1,ch⁡x−1x2→12.\dfrac{\operatorname{ch}x-1}{x^2}\to\dfrac12.Следовательно,1+xarctg⁡x−ch⁡xx2=xarctg⁡xx2−ch⁡x−1x2→1−12=12.\dfrac{1+x\operatorname{arctg}x-\operatorname{ch}x}{x^2}
=
\dfrac{x\operatorname{arctg}x}{x^2}
-
\dfrac{\operatorname{ch}x-1}{x^2}
\to
1-\dfrac12
=
\dfrac12.Так как ch⁡x→1\operatorname{ch}x\to1, получаем ux2→12\dfrac{u}{x^2}\to\dfrac12. Логарифм:ln⁡L=lim⁡x→0ln⁡(1+u)tg⁡2x=lim⁡x→0ln⁡(1+u)u⋅ux2⋅x2tg⁡2x=1⋅12⋅1=12.\ln L = \lim_{x\to0}\dfrac{\ln(1+u)}{\operatorname{tg}^2x}
= \lim_{x\to0}\dfrac{\ln(1+u)}{u}\cdot\dfrac{u}{x^2}\cdot\dfrac{x^2}{\operatorname{tg}^2x}
= 1\cdot\dfrac12\cdot1 = \dfrac12.Отсюда L=e1/2=eL=e^{1/2}=\sqrt e.

Проверка

8. Обозначимu=1+xln⁡(1+x)1−xarcsin⁡x−1=xln⁡(1+x)+xarcsin⁡x1−xarcsin⁡x.u=\dfrac{1+x\ln(1+x)}{1-x\arcsin x}-1
=
\dfrac{x\ln(1+x)+x\arcsin x}{1-x\arcsin x}.Найдём ux2\dfrac{u}{x^2}. Так какxln⁡(1+x)x2=ln⁡(1+x)x→1,\dfrac{x\ln(1+x)}{x^2}
=
\dfrac{\ln(1+x)}{x}\to1,xarcsin⁡xx2=arcsin⁡xx→1,\dfrac{x\arcsin x}{x^2}
=
\dfrac{\arcsin x}{x}\to1,тоxln⁡(1+x)+xarcsin⁡xx2→2.\dfrac{x\ln(1+x)+x\arcsin x}{x^2}\to2.Также 1−xarcsin⁡x→11-x\arcsin x\to1. Следовательно, ux2→2\dfrac{u}{x^2}\to2. Логарифм:ln⁡L=lim⁡x→0ln⁡(1+u)sin⁡2x=lim⁡x→0ln⁡(1+u)u⋅ux2⋅x2sin⁡2x=1⋅2⋅1=2.\ln L = \lim_{x\to0}\dfrac{\ln(1+u)}{\sin^2x}
= \lim_{x\to0}\dfrac{\ln(1+u)}{u}\cdot\dfrac{u}{x^2}\cdot\dfrac{x^2}{\sin^2x}
= 1\cdot2\cdot1 = 2.Итак, L=e2L=e^2.
Кудрявцев № 9.37 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика