Раздел II. Предел и непрерывность функции — § 9. Предел функции

Кудрявцев — задача 9.33

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 9.33

Найти пределы:
1) lim⁡x→∞(x2x+1)x2\lim_{x \to \infty} \left(\dfrac{x}{2x+1}\right)^{x^2};
2) lim⁡x→∞(1x2)x2x+1\lim_{x \to \infty} \left(\dfrac1{x^2}\right)^{\frac{x}{2x+1}};
3) lim⁡x→∞(x2x+1)x\lim_{x \to \infty} \left(\dfrac{x}{2x+1}\right)^x;
4) lim⁡x→∞(xx+1)x\lim_{x \to \infty} \left(\dfrac{x}{x+1}\right)^x.
Ответ:1) 0;1)\ 0;
2) 0;2)\ 0;
3) предел не существует;3)\ \text{предел не существует};
4) 1e4)\ \dfrac1e

Решение

При x>0x>0:0<x2x+1=12+1x<12.0<\dfrac{x}{2x+1}
=
\dfrac1{2+\frac1x}
<\dfrac12.Следовательно,0<(x2x+1)x2<(12)x2→0.0<
\left(\dfrac{x}{2x+1}\right)^{x^2}
<
\left(\dfrac12\right)^{x^2}
\to 0.Поэтому предел равен 00.

При x→∞x\to\infty считаем x>0x>0. Тогда(1x2)x2x+1=x−2x2x+1=e−2x2x+1ln⁡x.\left(\dfrac1{x^2}\right)^{\frac{x}{2x+1}}
=
x^{-\frac{2x}{2x+1}}
=
e^{-\frac{2x}{2x+1}\ln x}.Так как 2x2x+1→1\dfrac{2x}{2x+1}\to 1, ln⁡x→+∞\ln x\to+\infty, показатель степени стремится к −∞-\infty. Следовательно, выражение стремится к 00.
Рассмотрим односторонние пределы. Сначала x→+∞x\to +\infty. При x>0x>0:0<x2x+1<x2x=12.0 < \dfrac{x}{2x+1} < \dfrac{x}{2x} = \dfrac12.Следовательно,0<(x2x+1)x<(12)x.0 < \left(\dfrac{x}{2x+1}\right)^x < \left(\dfrac12\right)^x.Так как (12)x→0\left(\dfrac12\right)^x \to 0 при x→+∞x\to +\infty, по теореме о двух милиционерах получаем lim⁡x→+∞(x2x+1)x=0\lim_{x\to +\infty} \left(\dfrac{x}{2x+1}\right)^x = 0. Теперь x→−∞x\to -\infty. Положим t=−xt=-x, тогда t→+∞t\to +\infty. Выразим основание:x2x+1=−t−2t+1=t2t−1.\dfrac{x}{2x+1}
=
\dfrac{-t}{-2t+1}
=
\dfrac{t}{2t-1}.Поэтому(x2x+1)x=(t2t−1)−t=(2t−1t)t=(2−1t)t.\left(\dfrac{x}{2x+1}\right)^x
=
\left(\dfrac{t}{2t-1}\right)^{-t}
=
\left(\dfrac{2t-1}{t}\right)^t
=
\left(2-\dfrac1t\right)^t.Для всех достаточно больших tt верно 2−1t>322-\frac1t > \frac32, поэтому (2−1t)t>(32)t\left(2-\frac1t\right)^t > \left(\frac32\right)^t. Правая часть стремится к +∞+\infty, следовательно, lim⁡t→+∞(2−1t)t=+∞\lim_{t\to +\infty} \left(2-\frac1t\right)^t = +\infty. То есть lim⁡x→−∞(x2x+1)x=+∞\lim_{x\to -\infty} \left(\dfrac{x}{2x+1}\right)^x = +\infty. Так как односторонние пределы различны, двусторонний предел lim⁡x→∞(x2x+1)x\lim_{x \to \infty} \left(\dfrac{x}{2x+1}\right)^x не существует.

Проверка

4.(xx+1)x=1(1+1x)x.\left(\dfrac{x}{x+1}\right)^x
=
\dfrac1{\left(1+\dfrac1x\right)^x}.Используем стандартный предел (1+1x)x→e\left(1+\dfrac1x\right)^x\to e. Следовательно, 1(1+1x)x→1e\dfrac1{\left(1+\frac1x\right)^x}\to \dfrac1e.