Раздел II. Предел и непрерывность функции — § 9. Предел функции

Кудрявцев — задача 9.30

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 9.30

Найти пределы:
1) lim⁡x→1sin⁡7πxsin⁡2πx\lim_{x \to 1} \dfrac{\sin7\pi x}{\sin2\pi x};
2) lim⁡x→πsin⁡xπ2−x2\lim_{x \to \pi} \dfrac{\sin x}{\pi^2-x^2};
3) lim⁡x→∞xsin⁡πx\lim_{x \to \infty} x\sin\dfrac{\pi}{x};
4) lim⁡x→∞x2(cos⁡1x−cos⁡3x)\lim_{x \to \infty} x^2\left(\cos\dfrac1x-\cos\dfrac3x\right);
5) lim⁡x→π/41−tg⁡2x2cos⁡x−1\lim_{x \to \pi/4} \dfrac{1-\operatorname{tg}^2 x}{\sqrt2\cos x-1};
6) lim⁡x→π/6cos⁡(2π/3−x)3−2cos⁡x\lim_{x \to \pi/6} \dfrac{\cos(2\pi/3-x)}{\sqrt3-2\cos x};
7) lim⁡x→π/2(πcos⁡x−2xtg⁡x)\lim_{x \to \pi/2} \left(\dfrac{\pi}{\cos x}-2x\operatorname{tg}x\right);
8) lim⁡x→π1−cos⁡xcos⁡2xcos⁡3x1+cos⁡x\lim_{x \to \pi} \dfrac{1-\cos x\cos2x\cos3x}{1+\cos x}.
Ответ:1) −72;1)\ -\dfrac72;
2) 12π;2)\ \dfrac{1}{2\pi};
3) π;3)\ \pi;
4) 4;4)\ 4;
5) 4;5)\ 4;
6) 1;6)\ 1;
7) 2;7)\ 2;
8) 148)\ 14

Решение

Сделаем замену t=x−1t=x-1. Тогда x=1+tx=1+t, t→0t\to0. Используем периодичность синуса:sin⁡7πx=sin⁡(7π+7πt)=−sin⁡7πt,\sin7\pi x
=
\sin(7\pi+7\pi t)
=
-\sin7\pi t,sin⁡2πx=sin⁡(2π+2πt)=sin⁡2πt.\sin2\pi x
=
\sin(2\pi+2\pi t)
=
\sin2\pi t.Следовательно,sin⁡7πxsin⁡2πx=−sin⁡7πtsin⁡2πt==−7π2π⋅sin⁡7πt7πt⋅2πtsin⁡2πt.\begin{aligned}
\dfrac{\sin7\pi x}{\sin2\pi x}
&=
-\dfrac{\sin7\pi t}{\sin2\pi t} = \\
&=
-\dfrac{7\pi}{2\pi}\cdot
\dfrac{\sin7\pi t}{7\pi t}\cdot
\dfrac{2\pi t}{\sin2\pi t}.
\end{aligned}При t→0t\to0 обе дроби стремятся к 11. Поэтому предел равен −72-\dfrac{7}{2}.
Сделаем замену t=x−πt=x-\pi. Тогда x=π+tx=\pi+t, t→0t\to0. Имеемsin⁡x=sin⁡(π+t)=−sin⁡t,\sin x=\sin(\pi+t)=-\sin t,π2−x2=π2−(π+t)2==π2−π2−2πt−t2==−t(2π+t).\begin{aligned}
\pi^2-x^2
&=
\pi^2-(\pi+t)^2 = \\
&=
\pi^2-\pi^2-2\pi t-t^2 = \\
&=
-t(2\pi+t).
\end{aligned}Следовательно,sin⁡xπ2−x2=−sin⁡t−t(2π+t)==sin⁡tt(2π+t).\begin{aligned}
\dfrac{\sin x}{\pi^2-x^2}
&=
\dfrac{-\sin t}{-t(2\pi+t)} = \\
&=
\dfrac{\sin t}{t(2\pi+t)}.
\end{aligned}При t→0t\to0: sin⁡tt→1\dfrac{\sin t}{t}\to1, 2π+t→2π2\pi+t\to2\pi. Поэтому предел равен 12π\dfrac{1}{2\pi}.
Сделаем замену t=πxt=\dfrac{\pi}{x}. Тогда t→0t\to0, x=πtx=\dfrac{\pi}{t}. Получаемxsin⁡πx=πtsin⁡t=π⋅sin⁡tt→π⋅1=π.x\sin\dfrac{\pi}{x}
=
\dfrac{\pi}{t}\sin t
=
\pi\cdot\dfrac{\sin t}{t}
\to
\pi\cdot1
=
\pi.
Используем формулу разности косинусов:cos⁡1x−cos⁡3x=2sin⁡2xsin⁡1x.\cos\dfrac1x-\cos\dfrac3x
=
2\sin\dfrac{2}{x}\sin\dfrac{1}{x}.Тогдаx2(cos⁡1x−cos⁡3x)=2x2sin⁡2xsin⁡1x.x^2\left(\cos\dfrac1x-\cos\dfrac3x\right)
=
2x^2\sin\dfrac{2}{x}\sin\dfrac{1}{x}.Сделаем замену t=1xt=\dfrac1x, тогда t→0t\to0:2x2sin⁡2xsin⁡1x=21t2sin⁡2tsin⁡t==2⋅sin⁡2tt⋅sin⁡tt.\begin{aligned}
2x^2\sin\dfrac{2}{x}\sin\dfrac{1}{x}
&=
2\dfrac{1}{t^2}\sin2t\sin t = \\
&=
2\cdot\dfrac{\sin2t}{t}\cdot\dfrac{\sin t}{t}.
\end{aligned}При t→0t\to0: sin⁡2tt→2\dfrac{\sin2t}{t}\to2, sin⁡tt→1\dfrac{\sin t}{t}\to1. Следовательно, предел равен 2⋅2⋅1=42\cdot2\cdot1=4.
Преобразуем числитель:1−tg⁡2x=cos⁡2x−sin⁡2xcos⁡2x=cos⁡2xcos⁡2x.1-\operatorname{tg}^2 x
=
\dfrac{\cos^2 x-\sin^2 x}{\cos^2 x}
=
\dfrac{\cos2x}{\cos^2 x}.Тогда1−tg⁡2x2cos⁡x−1=cos⁡2xcos⁡2x(2cos⁡x−1).\dfrac{1-\operatorname{tg}^2 x}{\sqrt2\cos x-1}
=
\dfrac{\cos2x}{\cos^2 x(\sqrt2\cos x-1)}.Умножим числитель и знаменатель на 2cos⁡x+1\sqrt2\cos x+1:=cos⁡2x(2cos⁡x+1)cos⁡2x(2cos⁡2x−1).=
\dfrac{\cos2x(\sqrt2\cos x+1)}
{\cos^2 x(2\cos^2 x-1)}.Так как 2cos⁡2x−1=cos⁡2x2\cos^2 x-1=\cos2x, получаемcos⁡2x(2cos⁡x+1)cos⁡2xcos⁡2x=2cos⁡x+1cos⁡2x.\dfrac{\cos2x(\sqrt2\cos x+1)}
{\cos^2 x\cos2x}
=
\dfrac{\sqrt2\cos x+1}{\cos^2 x}.При x→π/4x\to\pi/4: cos⁡x→22\cos x\to\dfrac{\sqrt2}{2}. Следовательно, предел равен2⋅22+1(22)2=1+112=\dfrac{\sqrt2\cdot\frac{\sqrt2}{2}+1}{\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2}
=
\dfrac{1+1}{\frac12}
=Заметим, чтоcos⁡(2π3−x)=cos⁡(π2−(x−π6))=sin⁡(x−π6).\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}-x\right)
=
\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)\right)
=
\sin\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right).Знаменатель преобразуем:3−2cos⁡x=2(32−cos⁡x)=2(cos⁡π6−cos⁡x).\sqrt3-2\cos x
=
2\left(\dfrac{\sqrt3}{2}-\cos x\right)
=
2\left(\cos\dfrac{\pi}{6}-\cos x\right).По формуле разности косинусов:cos⁡π6−cos⁡x=2sin⁡π/6+x2sin⁡x−π/62.\cos\dfrac{\pi}{6}-\cos x
=
2\sin\dfrac{\pi/6+x}{2}\sin\dfrac{x-\pi/6}{2}.Следовательно,3−2cos⁡x=4sin⁡π/6+x2sin⁡x−π/62.\sqrt3-2\cos x
=
4\sin\dfrac{\pi/6+x}{2}\sin\dfrac{x-\pi/6}{2}.Тогдаcos⁡(2π/3−x)3−2cos⁡x=sin⁡(x−π/6)4sin⁡π/6+x2sin⁡x−π/62.\begin{aligned}
\dfrac{\cos(2\pi/3-x)}{\sqrt3-2\cos x}
&=
\dfrac{\sin(x-\pi/6)}
{4\sin\dfrac{\pi/6+x}{2}\sin\dfrac{x-\pi/6}{2}}.
\end{aligned}Обозначим y=x−π/62y=\dfrac{x-\pi/6}{2}. Тогда x−π/6=2yx-\pi/6=2y, и sin⁡(x−π/6)=sin⁡2y=2sin⁡ycos⁡y\sin(x-\pi/6)=\sin2y=2\sin y\cos y. Получаем2sin⁡ycos⁡y4sin⁡π/6+x2sin⁡y=cos⁡y2sin⁡π/6+x2.\dfrac{2\sin y\cos y}
{4\sin\dfrac{\pi/6+x}{2}\sin y}
=
\dfrac{\cos y}
{2\sin\dfrac{\pi/6+x}{2}}.При x→π/6x\to\pi/6 имеем y→0y\to0, поэтому cos⁡y→1\cos y\to1, sin⁡π/6+x2→sin⁡π6=12\sin\dfrac{\pi/6+x}{2}\to\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac12. Следовательно, предел равен 12⋅12=1\dfrac{1}{2\cdot\frac12}=1.
Сделаем замену t=π2−xt=\dfrac{\pi}{2}-x. Тогда x=π2−tx=\dfrac{\pi}{2}-t, t→0t\to0. Имеемcos⁡x=cos⁡(π2−t)=sin⁡t,\cos x=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-t\right)=\sin t,2xtg⁡x=2(π2−t)sin⁡xcos⁡x=(π−2t)cos⁡tsin⁡t.2x\operatorname{tg}x
=
2\left(\dfrac{\pi}{2}-t\right)\dfrac{\sin x}{\cos x}
=
(\pi-2t)\dfrac{\cos t}{\sin t}.Следовательно,πcos⁡x−2xtg⁡x=πsin⁡t−(π−2t)cos⁡tsin⁡t==π(1−cos⁡t)+2tcos⁡tsin⁡t.\begin{aligned}
\dfrac{\pi}{\cos x}-2x\operatorname{tg}x
&=
\dfrac{\pi}{\sin t}
-
\dfrac{(\pi-2t)\cos t}{\sin t} = \\
&=
\dfrac{\pi(1-\cos t)+2t\cos t}{\sin t}.
\end{aligned}Преобразуем:π(1−cos⁡t)+2tcos⁡tsin⁡t=2πsin⁡2(t/2)+2tcos⁡tsin⁡t==2πsin⁡2(t/2)sin⁡t+2cos⁡ttsin⁡t.\begin{aligned}
\dfrac{\pi(1-\cos t)+2t\cos t}{\sin t}
&=
\dfrac{2\pi\sin^2(t/2)+2t\cos t}{\sin t} = \\
&=
2\pi\dfrac{\sin^2(t/2)}{\sin t}
+
2\cos t\dfrac{t}{\sin t}.
\end{aligned}При t→0t\to0:sin⁡2(t/2)sin⁡t=sin⁡2(t/2)(t/2)2⋅t2/4t⋅tsin⁡t∼t4→0.\dfrac{\sin^2(t/2)}{\sin t}
=
\dfrac{\sin^2(t/2)}{(t/2)^2}\cdot
\dfrac{t^2/4}{t}\cdot
\dfrac{t}{\sin t}
\sim
\dfrac{t}{4}
\to0.Второе слагаемое: 2cos⁡ttsin⁡t→22\cos t\dfrac{t}{\sin t}\to2. Следовательно, предел равен 22.

Проверка

8. Сделаем замену t=x−πt=x-\pi. Тогда x=π+tx=\pi+t, t→0t\to0. Имеем:cos⁡x=cos⁡(π+t)=−cos⁡t,\cos x=\cos(\pi+t)=-\cos t,cos⁡2x=cos⁡(2π+2t)=cos⁡2t,\cos2x=\cos(2\pi+2t)=\cos2t,cos⁡3x=cos⁡(3π+3t)=−cos⁡3t.\cos3x=\cos(3\pi+3t)=-\cos3t.Следовательно,cos⁡xcos⁡2xcos⁡3x=(−cos⁡t)cos⁡2t(−cos⁡3t)=cos⁡tcos⁡2tcos⁡3t.\cos x\cos2x\cos3x
=
(-\cos t)\cos2t(-\cos3t)
=
\cos t\cos2t\cos3t.Тогда знаменатель:1+cos⁡x=1−cos⁡t.1+\cos x=1-\cos t.Предел принимает видlim⁡t→01−cos⁡tcos⁡2tcos⁡3t1−cos⁡t.\lim_{t\to0}\dfrac{1-\cos t\cos2t\cos3t}{1-\cos t}.Используем формулу4cos⁡tcos⁡2tcos⁡3t=cos⁡6t+cos⁡4t+cos⁡2t+1.4\cos t\cos2t\cos3t
=
\cos6t+\cos4t+\cos2t+1.Следовательно,cos⁡tcos⁡2tcos⁡3t=14(1+cos⁡2t+cos⁡4t+cos⁡6t).\cos t\cos2t\cos3t
=
\dfrac14(1+\cos2t+\cos4t+\cos6t).Тогда числитель:1−cos⁡tcos⁡2tcos⁡3t=1−14(1+cos⁡2t+cos⁡4t+cos⁡6t)==3−cos⁡2t−cos⁡4t−cos⁡6t4.\begin{aligned}
1-\cos t\cos2t\cos3t
&=
1-\dfrac14(1+\cos2t+\cos4t+\cos6t) = \\
&=
\dfrac{3-\cos2t-\cos4t-\cos6t}{4}.
\end{aligned}Получаем1−cos⁡tcos⁡2tcos⁡3t1−cos⁡t=3−cos⁡2t−cos⁡4t−cos⁡6t4(1−cos⁡t).\dfrac{1-\cos t\cos2t\cos3t}{1-\cos t}
=
\dfrac{3-\cos2t-\cos4t-\cos6t}
{4(1-\cos t)}.Так как3−cos⁡2t−cos⁡4t−cos⁡6t=(1−cos⁡2t)+(1−cos⁡4t)+(1−cos⁡6t),3-\cos2t-\cos4t-\cos6t
=
(1-\cos2t)+(1-\cos4t)+(1-\cos6t),и 1−cos⁡y=2sin⁡2y21-\cos y=2\sin^2\dfrac{y}{2}, то3−cos⁡2t−cos⁡4t−cos⁡6t=2(sin⁡2t+sin⁡22t+sin⁡23t).3-\cos2t-\cos4t-\cos6t
=
2\left(\sin^2t+\sin^22t+\sin^23t\right).Следовательно,1−cos⁡tcos⁡2tcos⁡3t1−cos⁡t=2(sin⁡2t+sin⁡22t+sin⁡23t)4(1−cos⁡t)==sin⁡2t+sin⁡22t+sin⁡23t2(1−cos⁡t).\begin{aligned}
\dfrac{1-\cos t\cos2t\cos3t}{1-\cos t}
&=
\dfrac{2\left(\sin^2t+\sin^22t+\sin^23t\right)}
{4(1-\cos t)} = \\
&=
\dfrac{\sin^2t+\sin^22t+\sin^23t}
{2(1-\cos t)}.
\end{aligned}Так как 1−cos⁡t=2sin⁡2(t/2)1-\cos t=2\sin^2(t/2), получаем=sin⁡2t+sin⁡22t+sin⁡23t4sin⁡2(t/2)=14(sin⁡2tsin⁡2(t/2)+sin⁡22tsin⁡2(t/2)+sin⁡23tsin⁡2(t/2)).=
\dfrac{\sin^2t+\sin^22t+\sin^23t}
{4\sin^2(t/2)}
=
\dfrac14\left(
\dfrac{\sin^2t}{\sin^2(t/2)}
+
\dfrac{\sin^22t}{\sin^2(t/2)}
+
\dfrac{\sin^23t}{\sin^2(t/2)}
\right).Вычислим пределы:sin⁡2tsin⁡2(t/2)→4,sin⁡22tsin⁡2(t/2)→16,sin⁡23tsin⁡2(t/2)→36.\dfrac{\sin^2t}{\sin^2(t/2)}
\to4,
\qquad
\dfrac{\sin^22t}{\sin^2(t/2)}
\to16,
\qquad
\dfrac{\sin^23t}{\sin^2(t/2)}
\to36.Сумма равна 4+16+36=564+16+36=56. Следовательно, предел равен 14⋅56=14\dfrac14\cdot56=14.