Раздел II. Предел и непрерывность функции — § 9. Предел функции

Кудрявцев — задача 9.3

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 9.3

Для каждого ε>0\varepsilon>0 найти δ>0\delta>0, чтобы из 0<∣x−1∣<δ0<|x-1|<\delta следовало ∣3x2−4x+1x−1−2∣<ε\left|\dfrac{3x^2-4x+1}{x-1}-2\right|<\varepsilon.
Ответ:δ=ε3\delta=\dfrac{\varepsilon}{3}

Решение

3x2−4x+1=(x−1)(3x−1)3x^2-4x+1=(x-1)(3x-1). При x≠1x\ne1: 3x2−4x+1x−1=3x−1\dfrac{3x^2-4x+1}{x-1}=3x-1. Тогда ∣(3x−1)−2∣=3∣x−1∣|(3x-1)-2|=3|x-1|. Для выполнения 3∣x−1∣<ε3|x-1|<\varepsilon достаточно δ=ε3\delta=\dfrac{\varepsilon}{3}.