Раздел II. Предел и непрерывность функции — § 9. Предел функции
Кудрявцев — задача 9.29
Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.
Задача 9.29
Найти пределы:
1) limx→0xsin3x;
2) limx→0sinxtg4x;
3) limx→0xctg5x;
4) limx→0sinβxsinαx, β=0;
5) limx→0sin6x−sin7xsinx;
6) limx→0(sin2xsinx2−sin2x1);
7) limx→0sin62xcos3x3−1;
8) limx→0sinx4sin(π/6+x)sin(π/6+2x)−1;
9) limx→0tg2xtg(1+x)tg(1−x)−tg21.
1) limx→0xsin3x;
2) limx→0sinxtg4x;
3) limx→0xctg5x;
4) limx→0sinβxsinαx, β=0;
5) limx→0sin6x−sin7xsinx;
6) limx→0(sin2xsinx2−sin2x1);
7) limx→0sin62xcos3x3−1;
8) limx→0sinx4sin(π/6+x)sin(π/6+2x)−1;
9) limx→0tg2xtg(1+x)tg(1−x)−tg21.
Ответ:1) 3;
2) 4;
3) 51;
4) βα;
5) −1;
6) 21;
7) −1289;
8) 33;
9) tg41−1
2) 4;
3) 51;
4) βα;
5) −1;
6) 21;
7) −1289;
8) 33;
9) tg41−1
Решение
Проверка
9. Используем формулы тангенса суммы и разности:tg(1+x)=1−tg1tgxtg1+tgx,tg(1−x)=1+tg1tgxtg1−tgx.Перемножим:tg(1+x)tg(1−x)=1−tg21tg2xtg21−tg2x.Вычитаем tg21:1−tg21tg2xtg21−tg2x−tg21==1−tg21tg2xtg2x(tg41−1).Делим на tg2x:tg2xtg(1+x)tg(1−x)−tg21=1−tg21tg2xtg41−1.При x→0: tg2x→0. Следовательно, предел равен tg41−1.