Раздел II. Предел и непрерывность функции — § 9. Предел функции

Кудрявцев — задача 9.27

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 9.27

Найти пределы:
1) lim⁡x→∞(x2−1−x2+1)\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^2-1}-\sqrt{x^2+1}\right);
2) lim⁡x→∞(x4+2x2−1−x4−2x2−1)\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^4+2x^2-1}-\sqrt{x^4-2x^2-1}\right);
3) lim⁡x→∞(4x4+13x2−7−2x2)\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{4x^4+13x^2-7}-2x^2\right);
4) lim⁡x→∞(x3+3x2+4x3−x3−3x2+43)\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt[3]{x^3+3x^2+4x}-\sqrt[3]{x^3-3x^2+4}\right);
5) lim⁡x→∞(x2+x2+x2−x2)\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^2+\sqrt{x^2+\sqrt{x^2}}}-\sqrt{x^2}\right);
6) lim⁡x→∞(x4+x2x4+1−2x4)\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^4+x^2\sqrt{x^4+1}}-\sqrt{2x^4}\right).
Ответ:1) 0;1)\ 0;
2) 2;2)\ 2;
3) 134;3)\ \dfrac{13}{4};
4) 2;4)\ 2;
5) 12;5)\ \dfrac12;
6) 06)\ 0

Решение

x2−1−x2+1=(x2−1)−(x2+1)x2−1+x2+1==−2x2−1+x2+1.\begin{aligned}
\sqrt{x^2-1}-\sqrt{x^2+1}
&=
\dfrac{(x^2-1)-(x^2+1)}
{\sqrt{x^2-1}+\sqrt{x^2+1}} = \\
&=
\dfrac{-2}{\sqrt{x^2-1}+\sqrt{x^2+1}}.
\end{aligned}При x→∞x\to\infty знаменатель стремится к +∞+\infty, поэтому предел равен 00.
x4+2x2−1−x4−2x2−1=(x4+2x2−1)−(x4−2x2−1)x4+2x2−1+x4−2x2−1==4x2x4+2x2−1+x4−2x2−1.\begin{aligned}
\sqrt{x^4+2x^2-1}-\sqrt{x^4-2x^2-1}
&=
\dfrac{(x^4+2x^2-1)-(x^4-2x^2-1)}
{\sqrt{x^4+2x^2-1}+\sqrt{x^4-2x^2-1}} = \\
&=
\dfrac{4x^2}{\sqrt{x^4+2x^2-1}+\sqrt{x^4-2x^2-1}}.
\end{aligned}Делим числитель и знаменатель на x2x^2:=41+2x2−1x4+1−2x2−1x4→42==
\dfrac{4}
{\sqrt{1+\dfrac2{x^2}-\dfrac1{x^4}}
+
\sqrt{1-\dfrac2{x^2}-\dfrac1{x^4}}}
\to
\dfrac{4}{2}
=4x4+13x2−7−2x2=(4x4+13x2−7)−4x44x4+13x2−7+2x2==13x2−74x4+13x2−7+2x2.\begin{aligned}
\sqrt{4x^4+13x^2-7}-2x^2
&=
\dfrac{(4x^4+13x^2-7)-4x^4}
{\sqrt{4x^4+13x^2-7}+2x^2} = \\
&=
\dfrac{13x^2-7}
{\sqrt{4x^4+13x^2-7}+2x^2}.
\end{aligned}Делим числитель и знаменатель на x2x^2:=13−7x24+13x2−7x4+2→132+2=134.=
\dfrac{13-\dfrac7{x^2}}
{\sqrt{4+\dfrac{13}{x^2}-\dfrac7{x^4}}+2}
\to
\dfrac{13}{2+2}
=
\dfrac{13}{4}.
Обозначим A=x3+3x2+4x3A=\sqrt[3]{x^3+3x^2+4x}, B=x3−3x2+43B=\sqrt[3]{x^3-3x^2+4}. ТогдаA−B=A3−B3A2+AB+B2==(x3+3x2+4x)−(x3−3x2+4)A2+AB+B2==6x2+4x−4A2+AB+B2.\begin{aligned}
A-B
&=
\dfrac{A^3-B^3}{A^2+AB+B^2} = \\
&=
\dfrac{(x^3+3x^2+4x)-(x^3-3x^2+4)}
{A^2+AB+B^2} = \\
&=
\dfrac{6x^2+4x-4}{A^2+AB+B^2}.
\end{aligned}Делим числитель и знаменатель на x2x^2:=6+4x−4x2(Ax)2+AxBx+(Bx)2.=
\dfrac{6+\dfrac4x-\dfrac4{x^2}}
{\left(\dfrac Ax\right)^2+\dfrac Ax\dfrac Bx+\left(\dfrac Bx\right)^2}.При x→∞x\to\infty: Ax→1\dfrac Ax\to1, Bx→1\dfrac Bx\to1. Следовательно, предел равен 61+1+1=2\dfrac{6}{1+1+1}=2.

При x→∞x\to\infty считаем x>0x>0, поэтому x2=x\sqrt{x^2}=x. Тогдаx2+x2=x2+x=x1+1x.\sqrt{x^2+\sqrt{x^2}}
=
\sqrt{x^2+x}
=
x\sqrt{1+\dfrac1x}.Далее,x2+x2+x2=x2+x1+1x==x1+1x1+1x.\begin{aligned}
\sqrt{x^2+\sqrt{x^2+\sqrt{x^2}}}
&=
\sqrt{x^2+x\sqrt{1+\dfrac1x}} = \\
&=
x\sqrt{1+\dfrac1x\sqrt{1+\dfrac1x}}.
\end{aligned}Обозначим u=1x1+1xu=\dfrac1x\sqrt{1+\dfrac1x}. При x→∞x\to\infty имеем u→0u\to0. Исходное выражение:x(1+u−1)=x⋅u1+u+1==xu1+u+1.\begin{aligned}
x\left(\sqrt{1+u}-1\right)
&=
x\cdot\dfrac{u}{\sqrt{1+u}+1} = \\
&=
\dfrac{xu}{\sqrt{1+u}+1}.
\end{aligned}Так как xu=1+1xxu=\sqrt{1+\dfrac1x}, получаемx(1+u−1)=1+1x1+u+1→11+1=12.x\left(\sqrt{1+u}-1\right)
=
\dfrac{\sqrt{1+\dfrac1x}}{\sqrt{1+u}+1}
\to
\dfrac{1}{1+1}
=
\dfrac12.

Проверка

6. При x>0x>0: 2x4=2x2\sqrt{2x^4}=\sqrt2 x^2. Тогдаx4+x2x4+1−2x2=x4+x2x4+1−2x4x4+x2x4+1+2x2==x2x4+1−x4x4+x2x4+1+2x2.\begin{aligned}
\sqrt{x^4+x^2\sqrt{x^4+1}}-\sqrt2 x^2
&=
\dfrac{x^4+x^2\sqrt{x^4+1}-2x^4}
{\sqrt{x^4+x^2\sqrt{x^4+1}}+\sqrt2 x^2} = \\
&=
\dfrac{x^2\sqrt{x^4+1}-x^4}
{\sqrt{x^4+x^2\sqrt{x^4+1}}+\sqrt2 x^2}.
\end{aligned}Числитель преобразуем:x2x4+1−x4=x2(x4+1−x2)==x2x4+1+x2→12.\begin{aligned}
x^2\sqrt{x^4+1}-x^4
&=
x^2\left(\sqrt{x^4+1}-x^2\right) = \\
&=
\dfrac{x^2}{\sqrt{x^4+1}+x^2}
\to
\dfrac12.
\end{aligned}Знаменатель:x4+x2x4+1+2x2=x2(1+1+1x4+2)→+∞.\sqrt{x^4+x^2\sqrt{x^4+1}}+\sqrt2 x^2
=
x^2\left(\sqrt{1+\sqrt{1+\dfrac1{x^4}}}+\sqrt2\right)
\to+\infty.Следовательно, вся дробь стремится к 00.