Раздел II. Предел и непрерывность функции — § 9. Предел функции

Кудрявцев — задача 9.26

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 9.26

Найти пределы:
1) lim⁡x→∞1+14x2x+x23\lim_{x \to \infty} \dfrac{1+14x}{2x+\sqrt[3]{x^2}};
2) lim⁡x→∞5x6−1x12+5x5−1\lim_{x \to \infty} \dfrac{5x^6-1}{\sqrt{x^{12}+5x^5-1}};
3) lim⁡x→∞4x2+x3+x4x2+4\lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{4x^2+\sqrt{x^3+x^4}}}{\sqrt{x^2+4}};
4) lim⁡x→∞9x2+1−x2−13x4+15−x4−15\lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{9x^2+1}-\sqrt[3]{x^2-1}}{\sqrt[5]{x^4+1}-\sqrt[5]{x^4-1}};
5) lim⁡x→∞x2+6+∣x∣x4+26−∣x∣\lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{x^2+6}+|x|}{\sqrt[6]{x^4+2}-|x|};
6) lim⁡x→∞1+4/x3−1+3/x41−1−5/x5\lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt[3]{1+4/x}-\sqrt[4]{1+3/x}}{1-\sqrt[5]{1-5/x}}.
Ответ:1) 7;1)\ 7;
2) 5;2)\ 5;
3) 5;3)\ \sqrt{5};
4) +∞;4)\ +\infty;
5) −2;5)\ -2;
6) 7126)\ \dfrac{7}{12}

Решение

Делим числитель и знаменатель на xx:1+14x2x+x23=14+1x2+x23x=14+1x2+x−1/3.\dfrac{1+14x}{2x+\sqrt[3]{x^2}}
=
\dfrac{14+\dfrac1x}{2+\dfrac{\sqrt[3]{x^2}}{x}}
=
\dfrac{14+\dfrac1x}{2+x^{-1/3}}.При x→∞x\to\infty: 1x→0\dfrac1x\to0, x−1/3→0x^{-1/3}\to0. Следовательно, предел равен 142=7\dfrac{14}{2}=7.
5x6−1x12+5x5−1=x6(5−1x6)x61+5x7−1x12==5−1x61+5x7−1x12.\begin{aligned}
\dfrac{5x^6-1}{\sqrt{x^{12}+5x^5-1}}
&=
\dfrac{x^6\left(5-\dfrac1{x^6}\right)}
{x^6\sqrt{1+\dfrac5{x^7}-\dfrac1{x^{12}}}} = \\
&=
\dfrac{5-\dfrac1{x^6}}
{\sqrt{1+\dfrac5{x^7}-\dfrac1{x^{12}}}}.
\end{aligned}При x→∞x\to\infty дробь стремится к 51=5\dfrac{5}{1}=5.

При x→∞x\to\infty считаем x>0x>0. Тогдаx3+x4=x4(1+1x)==x21+1x.\begin{aligned}
\sqrt{x^3+x^4}
&=
\sqrt{x^4\left(1+\dfrac1x\right)} = \\
&=
x^2\sqrt{1+\dfrac1x}.
\end{aligned}Следовательно,4x2+x3+x4=x2(4+1+1x)==x4+1+1x,\begin{aligned}
\sqrt{4x^2+\sqrt{x^3+x^4}}
&=
\sqrt{x^2\left(4+\sqrt{1+\dfrac1x}\right)} = \\
&=
x\sqrt{4+\sqrt{1+\dfrac1x}},
\end{aligned}аx2+4=x1+4x2.\sqrt{x^2+4}
=
x\sqrt{1+\dfrac4{x^2}}.Получаем4x2+x3+x4x2+4=x4+1+1xx1+4x2=4+1+1x1+4x2.\dfrac{\sqrt{4x^2+\sqrt{x^3+x^4}}}{\sqrt{x^2+4}}
=
\dfrac{x\sqrt{4+\sqrt{1+\dfrac1x}}}
{x\sqrt{1+\dfrac4{x^2}}}
=
\dfrac{\sqrt{4+\sqrt{1+\dfrac1x}}}
{\sqrt{1+\dfrac4{x^2}}}.При x→∞x\to\infty: 1+1x→1\sqrt{1+\frac1x}\to1, 4x2→0\frac4{x^2}\to0. Поэтому предел равен 4+11=5\dfrac{\sqrt{4+1}}{\sqrt1}=\sqrt5.
Обозначим числитель A(x)A(x), знаменатель B(x)B(x).
Для числителя:9x2+1x=9+1x2→3,\dfrac{\sqrt{9x^2+1}}{x}
=
\sqrt{9+\dfrac1{x^2}}
\to 3,x2−13x=x2/31−1x23x=x−1/31−1x23→0.\dfrac{\sqrt[3]{x^2-1}}{x}
=
\dfrac{x^{2/3}\sqrt[3]{1-\frac1{x^2}}}{x}
=
x^{-1/3}\sqrt[3]{1-\frac1{x^2}}
\to 0.Следовательно,A(x)=x(9+1x2−x−1/31−1x23)==x a(x),\begin{aligned}
A(x)
&=
x\left(
\sqrt{9+\dfrac1{x^2}}
-
x^{-1/3}\sqrt[3]{1-\frac1{x^2}}
\right) = \\
&=
x\,a(x),
\end{aligned}где a(x)→3a(x)\to3.
Для знаменателя положим u=x4+15u=\sqrt[5]{x^4+1}, v=x4−15v=\sqrt[5]{x^4-1}. Тогдаu5−v5=(x4+1)−(x4−1)=u^5-v^5
=
(x^4+1)-(x^4-1)
=По формуле разности пятых степеней:u−v=u5−v5u4+u3v+u2v2+uv3+v4=2u4+u3v+u2v2+uv3+v4.u-v
=
\dfrac{u^5-v^5}{u^4+u^3v+u^2v^2+uv^3+v^4}
=
\dfrac{2}{u^4+u^3v+u^2v^2+uv^3+v^4}.При x→∞x\to\infty:ux4/5=(1+1x4)1/5→1,vx4/5=(1−1x4)1/5→1.\dfrac{u}{x^{4/5}}
=
\left(1+\dfrac1{x^4}\right)^{1/5}
\to 1,
\qquad
\dfrac{v}{x^{4/5}}
=
\left(1-\dfrac1{x^4}\right)^{1/5}
\to 1.Поэтомуu4+u3v+u2v2+uv3+v4=x16/5c(x),u^4+u^3v+u^2v^2+uv^3+v^4
=
x^{16/5}c(x),где c(x)→5c(x)\to5. Значит,B(x)=2x16/5c(x).B(x)
=
\dfrac{2}{x^{16/5}c(x)}.Теперь находим отношение:A(x)B(x)=xa(x)⋅c(x)2x16/5==a(x)c(x)2x21/5.\begin{aligned}
\dfrac{A(x)}{B(x)}
&=
x a(x)\cdot\dfrac{c(x)}{2}x^{16/5} = \\
&=
\dfrac{a(x)c(x)}{2}x^{21/5}.
\end{aligned}Так как a(x)c(x)2→3⋅52=152\dfrac{a(x)c(x)}{2} \to \dfrac{3\cdot5}{2} = \dfrac{15}{2}, а x21/5→+∞x^{21/5}\to+\infty, то A(x)B(x)→+∞\dfrac{A(x)}{B(x)}\to+\infty.

При x→∞x\to\infty имеем x>0x>0, поэтому ∣x∣=x|x|=x. Тогдаx2+6+x=x(1+6x2+1),\sqrt{x^2+6}+x
=
x\left(\sqrt{1+\dfrac6{x^2}}+1\right),x4+26−x=x2/3(1+2x4)1/6−x=x(x−1/3(1+2x4)1/6−1).\sqrt[6]{x^4+2}-x
=
x^{2/3}\left(1+\dfrac2{x^4}\right)^{1/6}-x
=
x\left(x^{-1/3}\left(1+\dfrac2{x^4}\right)^{1/6}-1\right).Следовательно,x2+6+xx4+26−x=1+6x2+1x−1/3(1+2x4)1/6−1.\dfrac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt[6]{x^4+2}-x}
=
\dfrac{\sqrt{1+\dfrac6{x^2}}+1}
{x^{-1/3}\left(1+\dfrac2{x^4}\right)^{1/6}-1}.При x→∞x\to\infty: 1+6x2+1→2\sqrt{1+\frac6{x^2}}+1\to2, а x−1/3(1+2x4)1/6−1→−1x^{-1/3}\left(1+\frac2{x^4}\right)^{1/6}-1 \to -1. Поэтому предел равен 2−1=−2\dfrac{2}{-1}=-2.
Сделаем замену t=1xt=\dfrac1x. Тогда t→0+t\to0^+, и выражение принимает вид(1+4t)1/3−(1+3t)1/41−(1−5t)1/5.\dfrac{(1+4t)^{1/3}-(1+3t)^{1/4}}
{1-(1-5t)^{1/5}}.Рассмотрим отдельно отношения к tt.

Для (1+4t)1/3−1(1+4t)^{1/3}-1 положим a=1+4ta=1+4t. Тогда a→1a\to1 и(1+4t)1/3−1=a1/3−1==a−1a2/3+a1/3+1==4ta2/3+a1/3+1.\begin{aligned}
(1+4t)^{1/3}-1
&=
a^{1/3}-1 = \\
&=
\dfrac{a-1}{a^{2/3}+a^{1/3}+1} = \\
&=
\dfrac{4t}{a^{2/3}+a^{1/3}+1}.
\end{aligned}Следовательно,(1+4t)1/3−1t=4a2/3+a1/3+1→43.\dfrac{(1+4t)^{1/3}-1}{t}
=
\dfrac{4}{a^{2/3}+a^{1/3}+1}
\to
\dfrac{4}{3}.Для (1+3t)1/4−1(1+3t)^{1/4}-1 положим b=1+3tb=1+3t. Тогда b→1b\to1 и(1+3t)1/4−1=b−1b3/4+b2/4+b1/4+1==3tb3/4+b2/4+b1/4+1.\begin{aligned}
(1+3t)^{1/4}-1
&=
\dfrac{b-1}{b^{3/4}+b^{2/4}+b^{1/4}+1} = \\
&=
\dfrac{3t}{b^{3/4}+b^{2/4}+b^{1/4}+1}.
\end{aligned}Следовательно,(1+3t)1/4−1t=3b3/4+b2/4+b1/4+1→34.\dfrac{(1+3t)^{1/4}-1}{t}
=
\dfrac{3}{b^{3/4}+b^{2/4}+b^{1/4}+1}
\to
\dfrac{3}{4}.

Проверка

Для знаменателя 1−(1−5t)1/51-(1-5t)^{1/5} положим c=1−5tc=1-5t. Тогда c→1c\to1 и(1−5t)1/5−1=c−1c4/5+c3/5+c2/5+c1/5+1==−5tc4/5+c3/5+c2/5+c1/5+1.\begin{aligned}
(1-5t)^{1/5}-1
&=
\dfrac{c-1}{c^{4/5}+c^{3/5}+c^{2/5}+c^{1/5}+1} = \\
&=
\dfrac{-5t}{c^{4/5}+c^{3/5}+c^{2/5}+c^{1/5}+1}.
\end{aligned}Следовательно,1−(1−5t)1/5t=5c4/5+c3/5+c2/5+c1/5+1→55=1.\dfrac{1-(1-5t)^{1/5}}{t}
=
\dfrac{5}{c^{4/5}+c^{3/5}+c^{2/5}+c^{1/5}+1}
\to
\dfrac{5}{5}
=
1.Теперь исходное выражение:(1+4t)1/3−(1+3t)1/41−(1−5t)1/5=(1+4t)1/3−1t−(1+3t)1/4−1t1−(1−5t)1/5t.\dfrac{(1+4t)^{1/3}-(1+3t)^{1/4}}{1-(1-5t)^{1/5}}
=
\dfrac{\dfrac{(1+4t)^{1/3}-1}{t}
-
\dfrac{(1+3t)^{1/4}-1}{t}}
{\dfrac{1-(1-5t)^{1/5}}{t}}.При t→0t\to0 числитель стремится к 43−34=712\dfrac43-\dfrac34 = \dfrac{7}{12}, а знаменатель — к 11. Следовательно, предел равен 712\dfrac{7}{12}.
Кудрявцев № 9.26 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика