Раздел II. Предел и непрерывность функции — § 9. Предел функции

Кудрявцев — задача 9.25

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 9.25

Найти пределы:
1) lim⁡x→6x−2−2x−6\displaystyle \lim_{x \to 6} \dfrac{\sqrt{x-2}-2}{x-6};
2) lim⁡x→0x1+x3−1\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\sqrt[3]{1+x}-1};
3) lim⁡x→11−x31−x5\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{1-\sqrt[3]{x}}{1-\sqrt[5]{x}};
4) lim⁡x→02x2+x+1−2−xx2\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{2\sqrt{x^2+x+1}-2-x}{x^2};
5) lim⁡x→56−x−13−4+x\displaystyle \lim_{x \to 5} \dfrac{\sqrt{6-x}-1}{3-\sqrt{4+x}};
6) lim⁡x→27+2x−x2−1+x+x22x−x2\displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{7+2x-x^2}-\sqrt{1+x+x^2}}{2x-x^2};
7) lim⁡x→3x2−2x+6−x2+2x−6x2−4x+3\displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{\sqrt{x^2-2x+6}-\sqrt{x^2+2x-6}}{x^2-4x+3};
8) lim⁡x→0x+83−21+2x−1\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt[3]{x+8}-2}{\sqrt{1+2x}-1};
9) lim⁡x→−89+x3+x+715+2x3+1\displaystyle \lim_{x \to -8} \dfrac{\sqrt[3]{9+x}+x+7}{\sqrt[3]{15+2x}+1};
10) lim⁡x→02x2+10x+15−x2+10x+17x\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt[5]{2x^2+10x+1} - \sqrt[7]{x^2+10x+1}}{x}.
Ответ:1) 14;1)\ \dfrac14;
2) 3;2)\ 3;
3) 53;3)\ \dfrac53;
4) 34;4)\ \dfrac34;
5) 3;5)\ 3;
6) 74;6)\ \dfrac{\sqrt7}{4};
7) −13;7)\ -\dfrac13;
8) 112;8)\ \dfrac1{12};
9) 2;9)\ 2;
10) 4710)\ \dfrac47

Решение

Умножаем на сопряжённое:x−2−2x−6=x−6(x−6)(x−2+2)==1x−2+2→14.\begin{aligned}
\dfrac{\sqrt{x-2}-2}{x-6}
&=
\dfrac{x-6}{(x-6)(\sqrt{x-2}+2)} = \\
&=
\dfrac{1}{\sqrt{x-2}+2}
\to
\dfrac{1}{4}.
\end{aligned}Эквивалентность (1+x)1/3−1∼x3(1+x)^{1/3}-1\sim \dfrac{x}{3}. Предел: xx/3=3\dfrac{x}{x/3}=3.

Замена t=x−1t=x-1: 1−x3∼−t31-\sqrt[3]{x}\sim -\dfrac{t}{3}, 1−x5∼−t51-\sqrt[5]{x}\sim -\dfrac{t}{5}. Предел: 53\dfrac{5}{3}.

Разложение x2+x+1=1+x2+3x28+o(x2)\sqrt{x^2+x+1}=1+\dfrac{x}{2}+\dfrac{3x^2}{8}+o(x^2). Тогда числитель:2(1+x2+3x28)−2−x=3x24.2\left(1+\dfrac{x}{2}+\dfrac{3x^2}{8}\right)-2-x
=
\dfrac{3x^2}{4}.Предел: 34\dfrac{3}{4}.

Умножаем на сопряжённые:(6−x−1)(6−x+1)(3−4+x)(3+4+x)⋅3+4+x6−x+1==5−x5−x⋅3+4+x6−x+1→3+31+1=3.\begin{aligned}
&\dfrac{(\sqrt{6-x}-1)(\sqrt{6-x}+1)}
{(3-\sqrt{4+x})(3+\sqrt{4+x})}
\cdot
\dfrac{3+\sqrt{4+x}}{\sqrt{6-x}+1} = \\
&=
\dfrac{5-x}{5-x}
\cdot
\dfrac{3+\sqrt{4+x}}{\sqrt{6-x}+1}
\to
\dfrac{3+3}{1+1}
=3.
\end{aligned}Умножаем на сопряжённое:(7+2x−x2)−(1+x+x2)(2x−x2)(7+2x−x2+1+x+x2)=6+x−2x2−x(x−2)(⋯+⋯)==2x+3x(7+2x−x2+1+x+x2).\begin{aligned}
\dfrac{(7+2x-x^2)-(1+x+x^2)}
{(2x-x^2)(\sqrt{7+2x-x^2}+\sqrt{1+x+x^2})}
&=
\dfrac{6+x-2x^2}{-x(x-2)(\sqrt{\cdots}+\sqrt{\cdots})} = \\
&=
\dfrac{2x+3}{x(\sqrt{7+2x-x^2}+\sqrt{1+x+x^2})}.
\end{aligned}При x=2x=2: 72(7+7)=74\dfrac{7}{2(\sqrt7+\sqrt7)} = \dfrac{\sqrt7}{4}.

Умножаем на сопряжённое:−4(x−3)(x−1)(x−3)(x2−2x+6+x2+2x−6)=−4(x−1)(x2−2x+6+x2+2x−6).\begin{aligned}
\dfrac{-4(x-3)}
{(x-1)(x-3)(\sqrt{x^2-2x+6}+\sqrt{x^2+2x-6})}
&=
\dfrac{-4}{(x-1)(\sqrt{x^2-2x+6}+\sqrt{x^2+2x-6})}.
\end{aligned}При x=3x=3 знаменатель равен 2⋅6=122\cdot6=12. Предел: −13-\dfrac{1}{3}.

Эквивалентности: x+83−2∼x12\sqrt[3]{x+8}-2 \sim \dfrac{x}{12}, 1+2x−1∼x\sqrt{1+2x}-1 \sim x. Предел: 112\dfrac{1}{12}.

Замена t=x+8→0t=x+8\to0. Тогда x=−8+tx=-8+t, 9+x=1+t9+x=1+t, 15+2x=−1+2t15+2x=-1+2t.
Числитель:1+t3+(−8+t)+7=1+t3−1+t=43t+o(t).\sqrt[3]{1+t}+(-8+t)+7
= 1+\dfrac{t}{3}-1+t
= \dfrac{4}{3}t+o(t).Знаменатель:−1+2t3+1=−(1−23t)+1=23t+o(t).\sqrt[3]{-1+2t}+1
= -\left(1-\dfrac{2}{3}t\right)+1
= \dfrac{2}{3}t+o(t).Предел: 4/32/3=2\dfrac{4/3}{2/3}=2.

Разложения:2x2+10x+15=1+2x+o(x),\sqrt[5]{2x^2+10x+1}
= 1+2x+o(x),x2+10x+17=1+107x+o(x).\sqrt[7]{x^2+10x+1}
= 1+\dfrac{10}{7}x+o(x).Разность: 47x+o(x)\dfrac{4}{7}x+o(x). Предел: 47\dfrac{4}{7}.