Раздел II. Предел и непрерывность функции — § 9. Предел функции

Кудрявцев — задача 9.24

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 9.24

Найти пределы при x→1x \to 1:
1) lim⁡x→1xn−1xk−1\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x^n-1}{x^k-1};
2) lim⁡x→1xn+1−xk+1+xk−nx+n−1(x−1)2\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x^{n+1}-x^{k+1}+x^k-nx+n-1}{(x-1)^2};
3) lim⁡x→1(xn−1)(xn−1−1)⋯(xn−k+1−1)(x−1)(x2−1)⋯(xk−1)\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{(x^n-1)(x^{n-1}-1)\cdots(x^{n-k+1}-1)}{(x-1)(x^2-1)\cdots(x^k-1)};
4) lim⁡x→1(n1−xn−k1−xk)\displaystyle \lim_{x \to 1} \left( \dfrac{n}{1-x^n} - \dfrac{k}{1-x^k} \right).
Ответ:1) nk;1)\ \dfrac{n}{k};
2) n2+n−2k2;2)\ \dfrac{n^2+n-2k}{2};
3) Cnk;3)\ C_n^k;
4) n−k24)\ \dfrac{n-k}{2}

Решение

Используем xm−1=(x−1)(1+x+⋯+xm−1)x^m-1=(x-1)(1+x+\cdots+x^{m-1}). Предел: nk\dfrac{n}{k}.

Замена t=x−1t=x-1, x=1+tx=1+t. Разложим числитель до t2t^2:(1+t)n+1−(1+t)k+1+(1+t)k−n(1+t)+n−1.(1+t)^{n+1}-(1+t)^{k+1}+(1+t)^k-n(1+t)+n-1.Константы и члены с tt взаимно уничтожаются. Остаётсяn2+n−2k2 t2+o(t2).\dfrac{n^2+n-2k}{2}\,t^2+o(t^2).Знаменатель t2t^2. Предел: n2+n−2k2\dfrac{n^2+n-2k}{2}.
Используем xm−1∼m(x−1)x^m-1\sim m(x-1). Числитель:n(n−1)⋯(n−k+1)(x−1)k,n(n-1)\cdots(n-k+1)(x-1)^k,знаменатель:k!(x−1)k.k!(x-1)^k.Предел: CnkC_n^k.

Приводим к общему знаменателю и делаем замену t=x−1→0t=x-1\to0. После разложения числителя до t2t^2 и знаменателя до t2t^2 получаем n−k2\dfrac{n-k}{2}.
Кудрявцев № 9.24 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика