Раздел II. Предел и непрерывность функции — § 9. Предел функции

Кудрявцев — задача 9.23

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 9.23

lim⁡x→∞Pn(x)Qk(x)\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{P_n(x)}{Q_k(x)}, где PnP_n, QkQ_k — многочлены степеней nn и kk соответственно.
Ответ:0 при n<k; a0b0 при n=k; ∞ при n>k0 \text{ при } n<k;\ \dfrac{a_0}{b_0} \text{ при } n=k;\ \infty \text{ при } n>k

Решение

Старшие члены: a0xna_0x^n и b0xkb_0x^k. Тогда предел равен:{0,n<k,a0b0,n=k,∞,n>k.\begin{cases}
0, & n<k,\\
\dfrac{a_0}{b_0}, & n=k,\\
\infty, & n>k.
\end{cases}