Раздел II. Предел и непрерывность функции — § 9. Предел функции

Кудрявцев — задача 9.22

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Найти пределы при

x \to \infty

:
1)

\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{(x+5)^5 + (x+6)^5 + (x+7)^5}{x^5 + 5^5}

;
2)

\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{(x+1)^2(3-7x)^2}{(2x-1)^4}

;
3)

\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{(2x^3+7x-1)^6}{(2x^6-13x^2+x)^3}

;
4)

\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{(1+x^{11}+7x^{13})^3}{(1+x)^{100}}

;
5)

\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \dfrac{x^3+3x^2}{x^2+1} - x \right)

;
6)

\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \dfrac{x^2}{2x+1} + \dfrac{x^3+4x^2-2}{1-2x^2} \right)

Ответ:

1)\ 3;

2)\ \dfrac{49}{16};

3)\ 8;

4)\ 0;

5)\ 3;

6)\ -\dfrac94

Решение

Практически все подобные номера решаются с помощью поиска коэффициента перед старшей степенью

x.

Старшие члены числителя дают

3x^5

, знаменателя

x^5

. Предел:

3

.

Старшие члены: числитель

49x^4

, знаменатель

16x^4

. Предел:

\dfrac{49}{16}

.

Старшие члены:

(2x^3)^6 = 64x^{18}

(2x^6)^3 = 8x^{18}

. Предел:

8

.

Старший член числителя

(7x^{13})^3 = 343x^{39}

, знаменателя

x^{100}

. Предел:

0

.

Приводим к общему знаменателю:

\dfrac{x^3+3x^2 - x(x^2+1)}{x^2+1}=\dfrac{3x^2-x}{x^2+1}\to 3.

Общий знаменатель

(2x+1)(1-2x^2)

. Числитель:

\begin{aligned}x^2(1-2x^2) + (x^3+4x^2-2)(2x+1)&= x^2 - 2x^4 + 2x^4 + x^3 + 8x^3 + 4x^2 - 4x - 2 = \\&= 9x^3 + 5x^2 - 4x - 2.\end{aligned}

Старший член знаменателя

-4x^3

. Предел:

-\dfrac{9}{4}