Раздел II. Предел и непрерывность функции — § 9. Предел функции

Кудрявцев — задача 9.21

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 9.21

Найти пределы:
1) lim⁡x→0x7+5x6+4x3x7+2x3\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x^7 + 5x^6 + 4x^3}{x^7 + 2x^3};
2) lim⁡x→72x2−11x−21x2−9x+14\displaystyle \lim_{x \to 7} \dfrac{2x^2 - 11x - 21}{x^2 - 9x + 14};
3) lim⁡x→1x4−x3+x2−3x+2x3−x2−x+1\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x^4 - x^3 + x^2 - 3x + 2}{x^3 - x^2 - x + 1};
4) lim⁡x→1x4−2x+1x8−2x+1\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x^4 - 2x + 1}{x^8 - 2x + 1};
5) lim⁡x→1x101−101x+100x2−2x+1\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x^{101} - 101x + 100}{x^2 - 2x + 1};
6) lim⁡x→−5(x2+2x)2−14(x2+2x)−15x4−29x2+100\displaystyle \lim_{x \to -5} \dfrac{(x^2+2x)^2 - 14(x^2+2x) - 15}{x^4 - 29x^2 + 100};
7) lim⁡x→1(31−x3+1x−1)\displaystyle \lim_{x \to 1} \left( \dfrac{3}{1-x^3} + \dfrac{1}{x-1} \right);
8) lim⁡x→2(22x−x2+1x2−3x+2)\displaystyle \lim_{x \to 2} \left( \dfrac{2}{2x-x^2} + \dfrac{1}{x^2-3x+2} \right);
9) lim⁡x→1(x2−4x+6x2−5x+4+x−43x2−9x+6)\displaystyle \lim_{x \to 1} \left( \dfrac{x^2 - 4x + 6}{x^2 - 5x + 4} + \dfrac{x - 4}{3x^2 - 9x + 6} \right).
Ответ:1) 2;1)\ 2;
2) 175;2)\ \dfrac{17}{5};
3) 2;3)\ 2;
4) 13;4)\ \dfrac13;
5) 5050;5)\ 5050;
6) 64105;6)\ \dfrac{64}{105};
7) 1;7)\ 1;
8) −12;8)\ -\dfrac12;
9) 19)\ 1

Решение

Выносим x3x^3 в числителе и знаменателе:x7+5x6+4x3x7+2x3=x3(x4+5x3+4)x3(x4+2)==x4+5x3+4x4+2.\begin{aligned}
\dfrac{x^7 + 5x^6 + 4x^3}{x^7 + 2x^3}
&=
\dfrac{x^3(x^4+5x^3+4)}{x^3(x^4+2)} = \\
&=
\dfrac{x^4+5x^3+4}{x^4+2}.
\end{aligned}При x→0x\to0 числитель стремится к 44, знаменатель к 22. Следовательно,lim⁡x→0x4+5x3+4x4+2=42=\lim_{x\to0}\dfrac{x^4+5x^3+4}{x^4+2}
=
\dfrac{4}{2}
=Разложение:2x2−11x−21=(x−7)(2x+3),x2−9x+14=(x−7)(x−2).2x^2-11x-21=(x-7)(2x+3),\qquad
x^2-9x+14=(x-7)(x-2).После сокращения:2x+3x−2→175.\dfrac{2x+3}{x-2}
\to
\dfrac{17}{5}.
Числитель:(x−1)2(x2+x+2),(x-1)^2(x^2+x+2),знаменатель:(x−1)2(x+1).(x-1)^2(x+1).После сокращения:x2+x+2x+1→42=2.\dfrac{x^2+x+2}{x+1}
\to
\dfrac{4}{2}
=2.
Делаем замену t=x−1t=x-1, x=1+tx=1+t.
Числитель:(1+t)4−2(1+t)+1=1+4t+6t2+4t3+t4−2−2t+1==2t+6t2+4t3+t4==t(2+6t+4t2+t3).\begin{aligned}
(1+t)^4-2(1+t)+1
&= 1+4t+6t^2+4t^3+t^4-2-2t+1 = \\
&= 2t+6t^2+4t^3+t^4 = \\
&= t(2+6t+4t^2+t^3).
\end{aligned}Знаменатель:(1+t)8−2(1+t)+1=1+8t+28t2+⋯−2−2t+1==6t+28t2+⋯==t(6+28t+⋯ ).\begin{aligned}
(1+t)^8-2(1+t)+1
&= 1+8t+28t^2+\cdots-2-2t+1 = \\
&= 6t+28t^2+\cdots = \\
&= t(6+28t+\cdots).
\end{aligned}Тогдаlim⁡t→0t(2+6t+⋯ )t(6+28t+⋯ )=26=13.\lim_{t\to0}
\dfrac{t(2+6t+\cdots)}{t(6+28t+\cdots)}
=
\dfrac{2}{6}
=
\dfrac13.Замена t=x−1t=x-1. Знаменатель t2t^2.
Числитель:(1+t)101−101(1+t)+100=1+101t+(1012)t2+⋯−101−101t+100==(1012)t2+o(t2)==5050t2+o(t2).\begin{aligned}
(1+t)^{101}-101(1+t)+100
&= 1+101t+\binom{101}{2}t^2+\cdots-101-101t+100 = \\
&= \binom{101}{2}t^2+o(t^2) = \\
&= 5050t^2+o(t^2).
\end{aligned}Тогдаlim⁡t→05050t2t2=\lim_{t\to0}\dfrac{5050t^2}{t^2}
=
Обозначим t=x2+2xt=x^2+2x. Тогда t→15t\to15 при x→−5x\to-5.
Числитель:t2−14t−15=(t−15)(t+1).t^2-14t-15=(t-15)(t+1).Подставляем t=x2+2xt=x^2+2x:t−15=x2+2x−15=(x+5)(x−3),t+1=x2+2x+1=(x+1)2.t-15 = x^2+2x-15=(x+5)(x-3),\qquad
t+1 = x^2+2x+1=(x+1)^2.Знаменатель:x4−29x2+100=(x2−25)(x2−4)=(x−5)(x+5)(x−2)(x+2).x^4-29x^2+100=(x^2-25)(x^2-4)=(x-5)(x+5)(x-2)(x+2).Дробь:(x+5)(x−3)(x+1)2(x−5)(x+5)(x−2)(x+2)=(x−3)(x+1)2(x−5)(x−2)(x+2).\dfrac{(x+5)(x-3)(x+1)^2}{(x-5)(x+5)(x-2)(x+2)}
=
\dfrac{(x-3)(x+1)^2}{(x-5)(x-2)(x+2)}.При x=−5x=-5:(−8)⋅16(−10)⋅(−7)⋅(−3)=−128−210=64105.\dfrac{(-8)\cdot16}{(-10)\cdot(-7)\cdot(-3)}
=
\dfrac{-128}{-210}
=
\dfrac{64}{105}.
Так как x−1=−(1−x)x-1=-(1-x),31−x3−11−x=3−(1+x+x2)1−x3==2−x−x21−x3.\begin{aligned}
\dfrac{3}{1-x^3}-\dfrac{1}{1-x}
&=
\dfrac{3-(1+x+x^2)}{1-x^3} = \\
&=
\dfrac{2-x-x^2}{1-x^3}.
\end{aligned}Раскладываем:2−x−x2=(1−x)(x+2),1−x3=(1−x)(1+x+x2).2-x-x^2=(1-x)(x+2),\qquad
1-x^3=(1-x)(1+x+x^2).После сокращения:x+21+x+x2→33=1.\dfrac{x+2}{1+x+x^2}
\to
\dfrac{3}{3}
=1.
Преобразуем знаменатели:2x−x2=−x(x−2),x2−3x+2=(x−1)(x−2).2x-x^2=-x(x-2),\qquad
x^2-3x+2=(x-1)(x-2).Тогда−2x(x−2)+1(x−1)(x−2)=−2(x−1)+xx(x−1)(x−2)==−x+2x(x−1)(x−2)==−1x(x−1).\begin{aligned}
\dfrac{-2}{x(x-2)}+\dfrac{1}{(x-1)(x-2)}
&=
\dfrac{-2(x-1)+x}{x(x-1)(x-2)} = \\
&=
\dfrac{-x+2}{x(x-1)(x-2)} = \\
&=
-\dfrac{1}{x(x-1)}.
\end{aligned}При x→2x\to2:−12⋅1=−12.-\dfrac{1}{2\cdot1}=-\dfrac12.
Разложим знаменатели:x2−5x+4=(x−1)(x−4),3x2−9x+6=3(x−1)(x−2).x^2-5x+4=(x-1)(x-4),\qquad
3x^2-9x+6=3(x-1)(x-2).Приводим к общему знаменателю 3(x−1)(x−4)(x−2)3(x-1)(x-4)(x-2):3(x2−4x+6)(x−2)+(x−4)23(x−1)(x−4)(x−2).\dfrac{3(x^2-4x+6)(x-2)+(x-4)^2}{3(x-1)(x-4)(x-2)}.Раскрываем числитель:3x3−17x2+34x−20.3x^3-17x^2+34x-20.При x=1x=1 числитель и знаменатель равны нулю. Раскладываем числитель на множители:3x3−17x2+34x−20=(x−1)(3x2−14x+20).3x^3-17x^2+34x-20
= (x-1)(3x^2-14x+20).Знаменатель после сокращения на (x−1)(x-1):3x2−14x+203(x−4)(x−2).\dfrac{3x^2-14x+20}{3(x-4)(x-2)}.При x→1x\to1:3−14+203(−3)(−1)=99=1.\dfrac{3-14+20}{3(-3)(-1)}
=
\dfrac{9}{9}
=1.