Раздел II. Предел и непрерывность функции — § 9. Предел функции

Кудрявцев — задача 9.20

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Найти пределы:
1)

\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 + 4x - 5}{x^2 - 1}

;
2)

\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 + 4x - 5}{x^2 - 1}

;
3)

\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 + x - 2}{2x^2 - x - 1}

;
4)

\lim_{x \to -2} \dfrac{x^3 + 3x^2 + 2x}{x^2 - x - 6}

;
5)

\lim_{x \to 2} \dfrac{x^3 - 8}{x^3 - 3x - 2}

;
6)

\lim_{x \to 1} \dfrac{2x^3 - 2x^2 + x - 1}{x^3 - x^2 + 3x - 3}

;
7)

\lim_{x \to 1} \dfrac{x^3 - 3x + 2}{x^3 - x^2 - x + 1}

;
8)

\lim_{x \to 3} \dfrac{x^3 - 5x^2 + 3x + 9}{x^3 - 8x^2 + 21x - 18}

Ответ:

1)\ \dfrac{7}{3};

2)\ 3;

3)\ 1;

4)\ -\dfrac{2}{5};

5)\ \dfrac{4}{3};

6)\ \dfrac{3}{4};

7)\ \dfrac{3}{2};

8)\ 4

Решение

Подставляем

x=2

\dfrac{2^2 + 4\cdot2 - 5}{2^2 - 1} = \dfrac{4 + 8 - 5}{4 - 1} = \dfrac{7}{3}

Разложим:

x^2 + 4x - 5 = (x - 1)(x + 5)

x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)

. Сокращаем

x-1

\lim_{x \to 1} \dfrac{x+5}{x+1} = \dfrac{1+5}{1+1} = 3

Разложим:

x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)

2x^2 - x - 1 = (x - 1)(2x + 1)

. Сокращаем:

\lim_{x \to 1} \dfrac{x+2}{2x+1} = \dfrac{1+2}{2+1} = 1

Числитель:

x^3 + 3x^2 + 2x = x(x+1)(x+2)

, знаменатель:

x^2 - x - 6 = (x+2)(x-3)

. Сокращаем

x+2

\lim_{x \to -2} \dfrac{x(x+1)}{x-3} = \dfrac{(-2)(-1)}{-5} = -\dfrac{2}{5}

Числитель:

x^3 - 8 = (x-2)(x^2+2x+4)

, знаменатель делением на

x-2

x^3 - 3x - 2 = (x-2)(x^2+2x+1) = (x-2)(x+1)^2

. Сокращаем:

\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2+2x+4}{(x+1)^2} = \dfrac{12}{9} = \dfrac{4}{3}

Числитель:

(x-1)(2x^2+1)

, знаменатель:

(x-1)(x^2+3)

. Сокращаем:

\lim_{x \to 1} \dfrac{2x^2+1}{x^2+3} = \dfrac{3}{4}

Числитель:

(x-1)^2(x+2)

, знаменатель:

(x-1)^2(x+1)

. Сокращаем:

\lim_{x \to 1} \dfrac{x+2}{x+1} = \dfrac{3}{2}

Числитель:

(x-3)^2(x+1)

, знаменатель:

(x-3)^2(x-2)

. Сокращаем:

\lim_{x \to 3} \dfrac{x+1}{x-2} = \dfrac{4}{1} = 4