Раздел II. Предел и непрерывность функции — § 9. Предел функции

Кудрявцев — задача 9.2

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 9.2

Определить, при каких положительных δ\delta из ∣x−1∣<δ|x-1|<\delta следует неравенство:
1) ∣lg⁡x∣<2|\lg x|<2;
2) ∣lg⁡x∣<1|\lg x|<1;
3) ∣lg⁡x∣<0,1|\lg x|<0{,}1;
4) ∣lg⁡x∣<0,01|\lg x|<0{,}01.
Ответ:1) δ≤0,99;1)\ \delta\le0{,}99;
2) δ≤0,90;2)\ \delta\le0{,}90;
3) δ≤1−11010;3)\ \delta\le1-\dfrac{1}{\sqrt[10]{10}};
4) δ≤1−1101004)\ \delta\le1-\dfrac{1}{\sqrt[100]{10}}

Решение

1. ∣lg⁡x∣<2⟺10−2<x<102|\lg x|<2 \Longleftrightarrow 10^{-2}<x<10^{2}. Ближайшая к 1 граница — левая: 1−10−2=0,991-10^{-2}=0{,}99. Следовательно, δ≤0,99\delta\le0{,}99.
2. 10−1<x<1010^{-1}<x<10. Ближайшая граница: 1−10−1=0,901-10^{-1}=0{,}90. Отсюда δ≤0,90\delta\le0{,}90.
3. 10−0,1<x<100,110^{-0{,}1}<x<10^{0{,}1}. δ≤1−10−0,1=1−11010\delta\le1-10^{-0{,}1}=1-\dfrac{1}{\sqrt[10]{10}}.
4. δ≤1−10−0,01=1−110100\delta\le1-10^{-0{,}01}=1-\dfrac{1}{\sqrt[100]{10}}.