Раздел II. Предел и непрерывность функции — § 9. Предел функции

Кудрявцев — задача 9.19

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 9.19

Используя логические символы, записать утверждения:
1) функция f(x)f(x) в точке x0x_0 имеет конечный предел;
2) функция f(x)f(x) не имеет конечного предела в точке x0x_0.
Ответ:утверждения записаны\text{утверждения записаны}

Решение

∃a ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x (0<∣x−x0∣<δ ⇒ ∣f(x)−a∣<ε)\exists a\ \forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0\ \forall x\ \Bigl( 0 < |x - x_0| < \delta \ \Rightarrow\ |f(x) - a| < \varepsilon \Bigr).
∀a ∃ε>0 ∀δ>0 ∃x (0<∣x−x0∣<δ ∧ ∣f(x)−a∣≥ε)\forall a\ \exists \varepsilon > 0\ \forall \delta > 0\ \exists x\ \Bigl( 0 < |x - x_0| < \delta \ \land\ |f(x) - a| \ge \varepsilon \Bigr).