Раздел II. Предел и непрерывность функции — § 9. Предел функции

Кудрявцев — задача 9.18

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 9.18

Используя логические символы, записать отрицания утверждений:
1) lim⁡x→0f(x)≠0\lim_{x \to 0} f(x) \neq 0;
2) lim⁡x→∞f(x)≠4\lim_{x \to \infty} f(x) \neq 4;
3) lim⁡x→1+0f(x)≠−∞\lim_{x \to 1 + 0} f(x) \neq -\infty;
4) lim⁡x→−∞f(x)≠∞\lim_{x \to -\infty} f(x) \neq \infty.
Ответ:отрицания записаны\text{отрицания записаны}

Решение

∃ε>0 ∀δ>0 ∃x (0<∣x∣<δ ∧ ∣f(x)∣≥ε)\exists \varepsilon > 0\ \forall \delta > 0\ \exists x\ \Bigl( 0 < |x| < \delta \ \land\ |f(x)| \ge \varepsilon \Bigr).
∃ε>0 ∀δ>0 ∃x (∣x∣>δ ∧ ∣f(x)−4∣≥ε)\exists \varepsilon > 0\ \forall \delta > 0\ \exists x\ \Bigl( |x| > \delta \ \land\ |f(x) - 4| \ge \varepsilon \Bigr).
∃E>0 ∀δ>0 ∃x (1<x<1+δ ∧ f(x)≥−E)\exists E > 0\ \forall \delta > 0\ \exists x\ \Bigl( 1 < x < 1 + \delta \ \land\ f(x) \ge -E \Bigr).
∃E>0 ∀X ∃x (x<X ∧ ∣f(x)∣≤E)\exists E > 0\ \forall X\ \exists x\ \Bigl( x < X \ \land\ |f(x)| \le E \Bigr).