Раздел II. Предел и непрерывность функции — § 9. Предел функции

Кудрявцев — задача 9.17

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 9.17

Используя логические символы, записать утверждения:
1) lim⁡x→0f(x)=0\lim_{x \to 0} f(x) = 0;
2) lim⁡x→∞f(x)=4\lim_{x \to \infty} f(x) = 4;
3) lim⁡x→1+0f(x)=−∞\lim_{x \to 1 + 0} f(x) = -\infty;
4) lim⁡x→−∞f(x)=∞\lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty.
Ответ:утверждения записаны\text{утверждения записаны}

Решение

∀ε>0 ∃δ>0 ∀x (0<∣x∣<δ ⇒ ∣f(x)∣<ε)\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0\ \forall x\ \Bigl( 0 < |x| < \delta \ \Rightarrow\ |f(x)| < \varepsilon \Bigr).
∀ε>0 ∃δ>0 ∀x (∣x∣>δ ⇒ ∣f(x)−4∣<ε)\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0\ \forall x\ \Bigl( |x| > \delta \ \Rightarrow\ |f(x) - 4| < \varepsilon \Bigr).
∀E>0 ∃δ>0 ∀x (1<x<1+δ ⇒ f(x)<−E)\forall E > 0\ \exists \delta > 0\ \forall x\ \Bigl( 1 < x < 1 + \delta \ \Rightarrow\ f(x) < -E \Bigr).
∀E>0 ∃X ∀x (x<X ⇒ ∣f(x)∣>E)\forall E > 0\ \exists X\ \forall x\ \Bigl( x < X \ \Rightarrow\ |f(x)| > E \Bigr).